Toán 11 ôn tập phương trình lượng giác

[Sweetdream2202]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

- Phương trình sinx = a (1)
♦ |a| > 1: phương trình (1) vô nghiệm.
♦ |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa mãn sinα = a.
Khi đó phương trình (1) có các nghiệm là
x = α + k2π, k ∈ Z
và x = π-α + k2π, k ∈ Z.
Nếu α thỏa mãn điều kiện

và sinα = a thì ta viết α = arcsin a.
Khi đó các nghiệm của phương trình (1) là
x = arcsina + k2π, k ∈ Z
và x = π - arcsina + k2π, k ∈ Z.
Các trường hợp đặc biệt:

- Phương trình cosx = a (2)
♦ |a| > 1: phương trình (2) vô nghiệm.
♦ |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa mãn cosα = a.
Khi đó phương trình (2) có các nghiệm là
x = α + k2π, k ∈ Z
và x = -α + k2π, k ∈ Z.
Nếu α thỏa mãn điều kiện

và cosα = a thì ta viết α = arccos a.
Khi đó các nghiệm của phương trình (2) là
x = arccosa + k2π, k ∈ Z
và x = -arccosa + k2π, k ∈ Z.
Các trường hợp đặc biệt:

- Phương trình tanx = a (3)
Điều kiện:

Nếu α thỏa mãn điều kiện

và tanα = a thì ta viết α = arctan a.
Khi đó các nghiệm của phương trình (3) là
x = arctana + kπ,k ∈ Z
- Phương trình cotx = a (4)
Điều kiện: x ≠ kπ, k ∈ Z.
Nếu α thỏa mãn điều kiện

và cotα = a thì ta viết α = arccot a.
Khi đó các nghiệm của phương trình (4) là
x = arccota + kπ, k ∈ Z
- Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác Là phương trình có dạng :
a.f2(x) + b.f(x) + c = 0
với f(x) = sinu(x) hoặc f(x) = cosu(x), tanu(x), cotu(x).
Cách giải:
Đặt t = f(x) ta có phương trình : at2 + bt +c = 0
Giải phương trình này ta tìm được t, từ đó tìm được x
Khi đặt t = sinu(x) hoặc t = cosu(x), ta có điều kiện: -1 ≤ t ≤ 1
-
Xét phương trình asinx + bcosx = c (1) với a, b là các số thực khác 0.

Khi đó phương trình (1) được đưa về dạng

Ở đó α là cung thỏa mãn

phương trình chỉ có nghiệm khi [tex]a^2+b^2\geq c^2[/tex]
- Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx là phương trình có dạng f(sinx, cosx) = 0 trong đó luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
Cách giải:
Xét cosx = 0 xem có là nghiệm của phương trình không?
Xét cosx ≠ 0. Chia hai vế phương trình cho coskx (k là số mũ cao nhất) ta được phương trình ẩn là tanx.
Giải và kết hợp nghiệm của cả hai trường hợp ta được nghiệm của phương trình đã cho.
Hoàn toàn tương tự ta có thể làm như trên đối với sinx.
- phương trình đối xứng là phương trình có dạng:
a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0 (3)
Phương pháp giải:
Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ:

Thay vào (3) ta được phương trình bậc hai theo t.
Ngoài ra chúng ta còn gặp phương trình phản đối xứng có dạng:
a(sinx - cosx) + bsinxcosx + c = 0 (4)
Để giải phương trình này ta cũng đặt

Thay vào (4) ta có được phương trình bậc hai theo t.
Phương pháp loại nghiệm, hợp nghiệm trong phương trình lượng giác

Phương pháp 1: Biểu diễn các nghiệm và điều kiện lên đưòng tròn lượng giác. Ta loại đi những điểm biểu diễn của nghiệm mà trùng với điểm biểu diễn của điều kiện.
Với cách này chúng ta cần ghi nhớ
♦ Điểm biểu diễn cung α và α+k2π,k ∈ Z là trùng nhau
♦ Để biểu diễn cung α+k2π/n lên đường tròn lượng giác ta cho k nhận n giá trị (thường chọn k = 0, 1, 2,…,n – 1)) nên ta có được n điểm phân biệt cách đều nhau trên đường tròn tạo thành một đa giác đều n cạnh nội tiếp đường tròn.
Phương pháp 2: Sử dụng phương trình nghiệm nguyên
Giả sử ta cần đối chiếu hai họ nghiệm

, trong đó m, n ∈ Z đã biết, còn k, l ∈ Z là các chỉ số chạy.
Ta xét phương trình :

Với a,b,c là các số nguyên.
Trong trường hợp này ta quy về giải phương trình nghiệm nguyên
ax + by = c (1)
Để giải phương trình (1) ta cần chú ý kết quả sau:
♦ Phương trình (1) có nghiệm ⇔ d = (a,b) là ước của c
♦ Nếu phương trình (1) có nghiệm (xo,yo) thì (1) có vô số nghiệm

Phương pháp 3: Thử trực tiếp
Phương pháp này là ta đi giải phương trình tìm nghiệm rồi thay nghiệm vào điều kiện để kiểm tra.
*chú ý, khi giải phương trình lượng giác, ta phải chú ý đến các quan hệ lượng giác cũng như là các công thức lượng giác.
- với 1 số phương trình, ta có thể đặt ẩn: [tex]t=tan\frac{x}{2} => sinx = \frac{2t}{1+t^2}; cosx = (1-t^2)(1+t^2); tanx =\frac{2t}{1-t^2}[/tex]