Toán Một số bài toán thực tế ứng dụng của đạo hàm.

[thangnguyenst95]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài toán liên quan đến đạo hàm là một dạng bài rất hay gặp trong các đề thi trắc nghiệm. Sau đây, minh xin giới thiệu một số bài toán thức tế mà trong đó đạo hàm được áp dụng như là mấu chốt để giải quyết vấn đề.


Bài 1: Một cửa hàng bán trà sữa ở Hà Nội sắp khai trương, đang nghiên cứu thị trường để định giá bán cho mỗi cốc trà sữa. Sau khi nghiên cứu, người quản lí thấy rằng nếu bán với giá 30.000 đồng một cốc thì mỗi tháng trung bình sé bán được 2200 cốc, còn từ mức giá 30.000 đồng mà cứ tăng thêm 1000 đồng thì sẽ bán ít đi 100 cốc mỗi tháng. Biết chi phí nguyên vật liệu để pha một cốc trà sữa không thay đổi là 22.000 đồng. Hỏi cửa hàng phải bán mỗi cốc trà sưa với giá bao nhiêu để đạt lợi nhuận lớn nhất?

A. 32.000 đồng

B. 30.000 đồng

C. 39.000 đồng

D. 37.000 đồng

Bài tập đầu tiên mình sẽ gợi ý giúp các bạn phân tích và giải bài toán nhé!!

Giải:

Gọi x (nghìn đồng) là số tiền tăng thêm khi bán ra một cốc trà sữa.($x\ge 0$) .

Tiếp theo ta sẽ tìm cách biểu diễn lợi nhuận thu được theo x.

Số côc trà sữa bán đc là: $2200 - 100x$.

Vậy số tiền lãi thu được là:

$(30+x-22).(22-100x) = (8 - x). (2200 - 100x) = 17600 +1400x -100{{x}^{2}}$ .

Để lợi nhuận thu được là lớn nhất thì chính là việc tìm x sao cho hàm số $f(x)=-100{{x}^{2}}+1400x+17600$ đạt giá trị lớn nhất.

$f(x)=-100{{x}^{2}}+1400x+17600$.

$f'(x)=-200x+1400$.

$f'(x)=0\Leftrightarrow x=7$.

Ta lâp bảng biến thiên.

Từ bảng biến thiên ta suy ra f(x) nhận giá trị lớn nhất lại x=7.

Vậy để lợi nhuận thu đước là cao nhất thì giá bán mỗi cốc tà sữa là 37 nghìn đồng.

Sau đây, mình sẽ đưa ra thêm bài toán chúng ta sẽ cùng thảo luận nhé .

Bài 2: Người ta muốn mạ vàng cho bề mặt phía ngoài của một cái hộp dạng hình hộp đứng không nắp (nắp trên), có đáy là một hình vuông. Tìm chiều cao của hộp để lượng vàng để mạ là ít nhất, biết lớp mạ ở mọi nơi như nhau, giao giữa các mặt là không đáng kể và thể tích của hộp là 4 $d{{m}^{3}}$ .

A. 1 dm

B. 1,5 dm

C. 2 dm

D. 0,5 dm.

 

[Bonechimte]

Bài toán liên quan đến đạo hàm là một dạng bài rất hay gặp trong các đề thi trắc nghiệm. Sau đây, minh xin giới thiệu một số bài toán thức tế mà trong đó đạo hàm được áp dụng như là mấu chốt để giải quyết vấn đề.


Bài 1: Một cửa hàng bán trà sữa ở Hà Nội sắp khai trương, đang nghiên cứu thị trường để định giá bán cho mỗi cốc trà sữa. Sau khi nghien cứu, người quản lí thấy rằng nếu bán với giá 30.000 đồng một cốc thì mỗi tháng trung bình sé bán được 2200 cốc, còn từ mức giá 30.000 đồng mà cứ tăng thêm 1000 đồng thì sẽ bán ít đi 100 cốc mỗi tháng. Biết chi phí nguyên vật liệu để pha một cốc trà sữa không thay đổi là 22.000 đồng. Hỏi cửa hàng phải bán mỗi cốc trà sưa với giá bao nhiêu để đạt lợi nhuận lớn nhất?

A. 32.000 đồng

B. 30.000 đồng

C. 39.000 đồng

D. 37.000 đồng


Bài tập đầu tiên mình sẽ gợi ý giúp các bạn phân tích và giải bài toán nhé!!

Giải:

Gọi x (nghìn đồng) là số tiền tăng thêm khi bán ra một cốc trà sữa.($x\ge 0$) .

Tiếp theo ta sẽ tìm cách biểu diễn lợi nhuận thu được theo x.

Số côc trà sữa bán đc là: 2200 - 100x.

Vậy số tiền lãi thu được là:

(30+x-22).(22-100x) = (8 - x). (2200 - 100x) = 17600 +1400x -$100{{x}^{2}}$ .

Để lợi nhuận thu được là lớn nhất thì chính là việc tìm x sao cho hàm số $f(x)=-100{{x}^{2}}+1400x+17600$ đạt giá trị lớn nhất.


$\begin{align}

& f(x)=-100{{x}^{2}}+1400x+17600. \\

& f'(x)=-200x+1400. \\

& f'(x)=0\Leftrightarrow x=7. \\

\end{align}$

Ta lâp bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên ta suy ra f(x) nhận giá trị lớn nhất lại x=7.

Vậy để lợi nhuận thu đước là cao nhất thì giá bán mỗi cốc tà sữa là 37 nghìn đồng.


Sau đây, mình sẽ đưa ra thêm bài toán chúng ta sẽ cùng thảo luận nhé .

Bài 1: Người ta muốn mạ vàng cho bề mặt phía ngoài của một cái hộp dạng hình hộp đứng không nắp (nắp trên), có đáy là một hình vuông. Tìm chiều cao của hộp để lượng vàng để mạ là ít nhất, biết lớp mạ ở mọi nơi như nhau, giao giữa các mặt là không đáng kể và thể tích của hộp là 4 $d{{m}^{3}}$ .


A. 1 dm

B. 1,5 dm

C. 2 dm

D. 0,5 dm.

Đáp án: A
Gọi x,y lần lượt là độ dài cạnh đáy + chiều cao
Thể tích khối hộp: V = [tex]x^2y -> 4= x^2y[/tex] ----> [tex]y=\frac{x^2}{4}[/tex]
Diện tích cần mạ vàng: S= [tex]x^2+ 4xy[/tex]= [tex]x^2 + \frac{8}{x}+ \frac{8}{x}[/tex][tex]\geq 3\sqrt[3]{64}[/tex]
Dấu = xảy ra khi x=2, y=1

 

[thangnguyenst95]

Tiếp tục nào
Một đội thi công cần mắc mạng điện từ trụ sở điện A ở ngoài tỉnh vào bốt điện C ở bản Mèo qua một vực sâu. UBND B cách C 1 km, khoảng cách từ B đến A là 4 km. Mỗi km dây điện đặt trên không (đi qua vực) mất 5000 USD, còn đặt dưới đất là 3000 USD. Điểm S ngoài tỉnh cần cách trụ sở điện bao nhiêu km để khi mắc điện từ A qua S rồi đến bốt điện C tốn ít kinh phí mua dây điện nhất (các khu vực A, B, C, S như hình vẽ). Chọn đáp án đúng trong các phương án sau?
A. $\dfrac{1}{4}$ km
B. $\dfrac{3}{4}$km
C.$\dfrac{13}{4}$ km
D. $\dfrac{11}{4}$ km

 

[Bonechimte]

Tiếp tục nào
Một đội thi công cần mắc mạng điện từ trụ sở điện A ở ngoài tỉnh vào bốt điện C ở bản Mèo qua một vực sâu. UBND B cách C 1 km, khoảng cách từ B đến A là 4 km. Mỗi km dây điện đặt trên không (đi qua vực) mất 5000 USD, còn đặt dưới đất là 3000 USD. Điểm S ngoài tỉnh cần cách trụ sở điện bao nhiêu km để khi mắc điện từ A qua S rồi đến bốt điện C tốn ít kinh phí mua dây điện nhất (các khu vực A, B, C, S như hình vẽ). Chọn đáp án đúng trong các phương án sau?
A. $\dfrac{1}{4}$ km
B. $\dfrac{3}{4}$km
C.$\dfrac{13}{4}$ km
D. $\dfrac{11}{4}$ km
View attachment 24739

Cho em hỏi ngu cái@@ kq có phải là 13/4 khi x= 3/4
Em đặt SB= x thì cái SA= 4-x
Xong ép f'(x) = 0
Xong xét dấu trên khoảng (0;4)

 

[thangnguyenst95]

Cho em hỏi ngu cái@@ kq có phải là 13/4 khi x= 3/4
Em đặt SB= x thì cái SA= 4-x
Xong ép f'(x) = 0
Xong xét dấu trên khoảng (0;4)

chuẩn luôn rồi em .

 

[thangnguyenst95]

Các bạn làm nhanh quá, tiếp nào
Người ta dự định làm một con đường từ điểm A thuộc huyện Đông Anh sang địa điểm B thuộc nội thành Hà Nội qua sông Hồng do đó phải xây thêm một cây cầu. Biết A cách bờ sông một khoảng 3km, B cách bờ sông một khoảng 5 km, sông rộng $0,8km$. Khi cho lên bản vẽ và tính toán thì người ta thầy rằng nếu có hai đường ${{d}_{1}};{{d}_{2}}$ lần lượt đi qua A và B, cùng vuông góc với bờ sông thì khoảng cách giữa hai đường này là $2km$. Để con đường từ A đến B là ngắn nhất thì phải làm cầu ở ví trí :
A. Cách đường ${{d}_{1}}$ một khoảng $0,75km$.
B. Cách đường ${{d}_{2}}$ một khoảng $0,75km$.
C. Cách đường ${{d}_{1}}$ một khoảng $1km$.
D. Cách đường ${{d}_{2}}$ một khoảng $1,2km$

 

[thangnguyenst95]

Các bạn làm thử tiếp bài này nhé:
Bài 3:
Một công ty dự kiến chi 1 tỷ đồng để sản xuất các thùng đựng sơn hình trụ có dung tích 5 lít. Biết rằng chi phí để làm mặt xung quanh của thùng đó là 100.000 đ/m2. Chi phí để làm mặt đáy là 120.000 đ/m2.Hãy tính số thùng sơn tối đa mà công ty đó sản xuất được.(Giả sử chi phí cho các mối nối không đáng kể).
A.12525 thùng B.18209 thùng C. 57582 thùng D. 58135 thùng.

 

[Trai Họ Nguyễn]

Bài 3:
Một công ty dự kiến chi 1 tỷ đồng để sản xuất các thùng đựng sơn hình trụ có dung tích 5 lít. Biết rằng chi phí để làm mặt xung quanh của thùng đó là 100.000 đ/m2. Chi phí để làm mặt đáy là 120.000 đ/m2.Hãy tính số thùng sơn tối đa mà công ty đó sản xuất được.(Giả sử chi phí cho các mối nối không đáng kể).
A.12525 thùng B.18209 thùng C. 57582 thùng D. 58135 thùng.

[tex]V=\pi R^{2}h=\frac{1}{200}[/tex]
=> [tex]h=\frac{1}{200\pi R^{2}}[/tex]
=> [tex]Sxq=\frac{1}{100R}[/tex] ( 1 thùng )
=> Sđ=[tex]2\pi R^{2}[/tex]
ta có tiền làm 1 thùng [tex]T=\frac{1}{100R}.100000+2\pi R^{2}.120000[/tex]
đạo hàm => [tex]T'=\frac{-1000}{R^{2}}+4\pi.120000.R[/tex]
cho T'=0 giải pt => R=0,0872=> lập bảng bt tìm đc R min
=> T =17198,143 ( tiền để làm 1 thùng )
=> tối đa số thùng cái này e lấy xấp xỉ nên ra 58145 thùng a ơi

 

[Bonechimte]

Các bạn làm thử tiếp bài này nhé:
Bài 3:
Một công ty dự kiến chi 1 tỷ đồng để sản xuất các thùng đựng sơn hình trụ có dung tích 5 lít. Biết rằng chi phí để làm mặt xung quanh của thùng đó là 100.000 đ/m2. Chi phí để làm mặt đáy là 120.000 đ/m2.Hãy tính số thùng sơn tối đa mà công ty đó sản xuất được.(Giả sử chi phí cho các mối nối không đáng kể).
A.12525 thùng B.18209 thùng C. 57582 thùng D. 58135 thùng.

D. 58135
Số tiền ít nhất là T thì số thùng nhiều nhất [tex]\frac{10^9}{T}[/tex]
P.s em ko bt gõ số pi nên đoạn đầu choa em khất^^

 

[thangnguyenst95]

[tex]V=\pi R^{2}h=\frac{1}{200}[/tex]
=> [tex]h=\frac{1}{200\pi R^{2}}[/tex]
=> [tex]Sxq=\frac{1}{100R}[/tex] ( 1 thùng )
=> Sđ=[tex]2\pi R^{2}[/tex]
ta có tiền làm 1 thùng [tex]T=\frac{1}{100R}.100000+2\pi R^{2}.120000[/tex]
đạo hàm => [tex]T'=\frac{-1000}{R^{2}}+4\pi.120000.R[/tex]
cho T'=0 giải pt => R=0,872=> lập bảng bt tìm đc R min
=> T =17198,143 ( tiền để làm 1 thùng )
=> tối đa số thùng cái này e lấy xấp xỉ nên ra 58145 thùng a ơi

E oi, e tinh lai cho a R nhe. R=0,0872 e nhe

 

[thangnguyenst95]

D. 58135
Số tiền nhiều nhất là T thì số thùng nhiều nhất [tex]\frac{10^9}{T}[/tex]
P.s em ko bt gõ số pi nên đoạn đầu choa em khất^^

Kết quả đúng rồi em nhé! Số tiền ít nhất là T thì số thùng nhiêu nhất là 10^9/T em nhé!

 

[thangnguyenst95]

Các bài toán ứng dụng đạo hàm thường chỉ khó phần phân tích đề bài để lập đươc hàm số sau đó khảo sát tìm min max. Các bạn cùng luyện thêm một số bài tập để có thêm kĩ năng phân tích đề nhé
Bài 4:
có một cái hồ rộng 50m, dài 200m. Một vật động viên chạy phối hợp với bơi (bắt buộc cả hai) cần đi từ góc này qua góc đối diện bằng cách cả chạy và bơi. Sau khi chạy được bao xa (quãng đường x) thì nên nhảy xuống bơi để đến đích nhanh nhất ? Biết rằng vận tốc bơi là 1.5 m/s , vận tốc chạy là 4.5m/s. Giá trị của x gần bằng:
A. 100 B.153. C.160. D. 182
Bài 5:
Cho tam giác vuông ABC có độ dài các cạnh góc vuông AB = 6 cm, AC = 8cm.M là điểm di chuyển trên cạnh huyền BC.Gọi D và E là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC . Tính diện tích lớn nhất của tứ giác ADME.
A. 12. B.13. C.14. D.1 5

 

[thangnguyenst95]

Các bài toán ứng dụng đạo hàm thường chỉ khó phần phân tích đề bài để lập đươc hàm số sau đó khảo sát tìm min max. Các bạn cùng luyện thêm một số bài tập để có thêm kĩ năng phân tích đề nhé
Bài 4:
có một cái hồ rộng 50m, dài 200m. Một vật động viên chạy phối hợp với bơi (bắt buộc cả hai) cần đi từ góc này qua góc đối diện bằng cách cả chạy và bơi. Sau khi chạy được bao xa (quãng đường x) thì nên nhảy xuống bơi để đến đích nhanh nhất ? Biết rằng vận tốc bơi là 1.5 m/s , vận tốc chạy là 4.5m/s. Giá trị của x gần bằng:
A. 100 B.153. C.160. D. 182
Bài 5:
Cho tam giác vuông ABC có độ dài các cạnh góc vuông AB = 6 cm, AC = 8cm.M là điểm di chuyển trên cạnh huyền BC.Gọi D và E là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC . Tính diện tích lớn nhất của tứ giác ADME.
A. 12. B.13. C.14. D.1 5

Quãng đường ng đó chạy là x:

Thời gia n người đó chạy là ${{t}_{1}}=\frac{x}{4,5}(s)$ ($200\ge x\ge 0$ )

Quãng đường người đó bơi là :$\sqrt{{{(200-x)}^{2}}+{{50}^{2}}}$

Thời gian người đó bơi là:${{t}_{2}}=\frac{\sqrt{{{(200-x)}^{2}}+{{50}^{2}}}}{1,5}$

Để đến đích nhanh nhất thì thời gian chạy và bơi phải là nhỏ nhất:

Xét hàm f(x)=$\frac{\sqrt{{{(200-x)}^{2}}+{{50}^{2}}}}{1,5}+\frac{x}{4,5}$ ,($200\ge x\ge 0$ )

\[\begin{align}

& f'(x)=\frac{-2(200-x)}{1,5.2.\sqrt{{{(200-x)}^{2}}+{{50}^{2}}}}+\frac{1}{4,5} \\

& =\frac{x-200}{1,5.\sqrt{{{(200-x)}^{2}}+{{50}^{2}}}}+\frac{1}{4,5} \\

& f'(x)=0\Leftrightarrow \frac{x-200}{1,5.\sqrt{{{(200-x)}^{2}}+{{50}^{2}}}}+\frac{1}{4,5}=0 \\

& \Leftrightarrow 3(x-200)+\sqrt{{{(200-x)}^{2}}+{{50}^{2}}}=0 \\

& \Leftrightarrow \sqrt{{{(200-x)}^{2}}+{{50}^{2}}}=3(200-x) \\

& \Leftrightarrow {{(200-x)}^{2}}+{{50}^{2}}=9{{(200-x)}^{2}} \\

& \Leftrightarrow x\approx 182 \\

\end{align}\]

 

[thangnguyenst95]

Bài 5: Đặt AD=x

\[\begin{align}

& \Rightarrow ME=x(0\le x\le 6) \\

& \frac{ME}{AB}=\frac{CE}{AC}=\frac{x}{6} \\

& \Rightarrow CE=AC.\frac{x}{6}=8.\frac{x}{6}=\frac{4}{3}x \\

& AE=8-\frac{4}{3}x \\

& \\

\end{align}\]

SADME =AD.AE=x.($8-\frac{4}{3}x$ )

f(x)= x.($8-\frac{4}{3}x$ ) , $0\le x\le 6$

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm f(x) trên đoạn. Các em làm tương tự nhes^^.

 

[thangnguyenst95]

Đạo hàm ko chỉ giúp giải các bài tập đại số mà nó còn có ứng dụng để giải 1 số bài hình học.Các bạn thử làm bài này nhé
Bài 7:Cho khối nón đỉnh O, chiều cao là h. Một khối nón khác co đỉnh là tâm I của đáy và đáy là một thiết diện song song với đáy của hình nón đã cho. Để thể tích của khối nón đỉnh I lớn nhất thì chiều cao của khối nón này bằng bao nhiêu?

 

[học tập]

giúp em giải cụ thể với

 

[Võ Phương Uyên]

Giúp mình với ạ
Tìm m để hàm số y=mx-(1/căn((x^2)-4)) có điểm cực đại khi x= căn5​

 

[dieuthao100]

Giúp mình với ạ:
Bài 1: Cho hàm số y=x^3 - 3x^2 + 4 có đồ thị (C) và đường thẳng d đi qua I(1;2), hệ số góc k. Tập hợp tất cả các số k để d và (C) cắt nhau tại I,A,B sao cho I là trung điểm AB.
Bài 2: Cho (C): y=(2x+1)/(x+1) và d: y=2x+m. Tìm m để d và (C) cắt nhau tại 2 điểm A,B và diện tích tam giác IAB bằng 3.