Toán 12 $3log_{3}(1+\sqrt[3]{xy}+\sqrt{xy})-log_{2}y\geq log_{2}x$

[Khoai lang]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Có nhiều nhất bao nhiêu số nguyên dương [imath]y[/imath] thuộc đoạn [imath][1;2022][/imath] để tồn tại nhiều nhất 128 số nguyên dương [imath]x[/imath] thỏa mãn
[imath]3\log_{3}(1+\sqrt[3]{xy}+\sqrt{xy})-\log_{2}y\geq \log_{2}x[/imath]
Anh chị giúp em bài này với ạ, em xin cảm ơn.

 

[Alice_www]

Có nhiều nhất bao nhiêu số nguyên dương [imath]y[/imath] thuộc đoạn [imath][1;2022][/imath] để tồn tại nhiều nhất 128 số nguyên dương [imath]x[/imath] thỏa mãn
[imath]3\log_{3}(1+\sqrt[3]{xy}+\sqrt{xy})-\log_{2}y\geq \log_{2}x[/imath]
Anh chị giúp em bài này với ạ, em xin cảm ơn.

Khoai lang
[imath]3\log_{3}(1+\sqrt[3]{xy}+\sqrt{xy})-\log_{2}y\ge \log_{2}x[/imath]
[imath]\Leftrightarrow 3\log_{3}(1+\sqrt[3]{xy}+\sqrt{xy})\ge 2\log_2(\sqrt{xy})[/imath] (*)
Đặt [imath]\log_2(\sqrt{xy})=3a\Rightarrow \sqrt{xy}=2^{3a}=8^a\Rightarrow xy=64^a[/imath]
(*)[imath]\Leftrightarrow 3\log_3(1+4^a+8^a)\ge 6a[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \log_3(1+4^a+8^a)\ge 2a \Leftrightarrow 1+4^a+8^a\ge 9^a\Leftrightarrow \dfrac{1}{9^a}+\left(\dfrac{4}9\right)^a+\left(\dfrac{8}9\right)^a\ge 1[/imath]
[imath]f(a)=\dfrac{1}{9^a}+\left(\dfrac{4}9\right)^a+\left(\dfrac{8}9\right)^a[/imath] là hàm số nghịch biến
[imath]f(2)=1\Leftrightarrow f(a)\ge f(2)\Leftrightarrow a\le 2\Leftrightarrow \log_2(\sqrt{xy})\le 6[/imath]
[imath]\Leftrightarrow xy\le 4096\Leftrightarrow x\le \dfrac{4096}{y}[/imath]
Để tồn tại nhiều nhất 128 số nguyên dương y thì [imath]\dfrac{4096}{y}\le 128\Leftrightarrow y\le 32[/imath]

Có gì khúc mắc em hỏi lại nha
Ngoài ra, em xem thêm tại Hàm số lũy thừa, hàm số mũ - logarit