3 điểm thẳng hàng, tính các cạnh của tam giác, tìm vị trí để có diện tích lớn nhất

[magic_candy99]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mấy bạn giỏi toán giúp mình với nha, cảm ơn mọi người rất nhiều
1. Cho tam giác nhọn ABC (AB< AC) nội tiếp đường tròn (O). Kể đường cao AH của tam giác ABC. Gọi P, Q lần lượt chân đường vuông góc kẻ từ H đến các cạnh AB, Ac. Hai đường thẳng PQ và BC cắt nhau tại M.
(Đã chứng minh được tứ giác BCQP nội tiếp và MH^2= MB.MC)
c) Đường thẳng MA cắt đường tròn (O) tại K. (K khác A). Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCQP. Chứng minh rằng I, H, K thẳng hàng?

2.Cho tam giác ABC cuông tại A, AC> AB, đường cao AH, vẽ đường tròn (O) đường kính CH cắt AC tại F và đường tròn (O') đường kính BH cắt AB tại E.
(đã chứng minh được AEHF là hình chữ nhật, BEFC nội tiếp, EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn).
d) Biết độ dài các cạnh của tam giác ABC là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi. Tính các cạnh của tam giác ABC?

3.cho đoạn thẳng AB và một điểm C nằm giữa A, B. Người ra kẻ trên nửa mp bờ AB, hai tia Ax và By vuông góc với AB và trên tia Ax lấy một điểm I. Tia vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P.
(đã chứng minh được CPKB nội tiếp, AI.BK= AC.BC, tam giác APB vuông.)
d) Giả sử A, B, I cố định. Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho diện tích hình thang vuông ABKI lớn nhất?

(KLQ nhưng tiện thể cho mình biết làm thế nào để đánh được cái dấu lũy thừa thì càng tốt mình đánh sẵn trên Word rồi cop vào cũng k ra được. Thông cảm nha.)

 

[lamnguyen.rs]

Bài 2:
Gọi độ dài 2 cạnh góc vuông là $a, b$ ==> độ dài cạnh huyền là $\sqrt{a^2 + b^2}$
Ta có:
$\dfrac{ab}{2} = a + b + \sqrt{a^2 + b^2}$
$<=> \dfrac{ab}{2} - (a + b) = \sqrt{a^2 + b^2}$
$<=> \dfrac{(ab)^2}{4} - ab(a + b) + a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + b^2$
$<=> \dfrac{(ab)^2}{4} - ab(a + b) + 2ab = 0$
$<=> \dfrac{ab}{4} - (a + b) + 2 = 0$
$<=> ab - 4a - 4b + 8 = 0$
$<=> ab - 4a - 4b + 16 = 8$
$<=> a(b - 4) - 4(b - 4) = 8$
$<=> (a - 4)(b - 4) = 8$
Do a, b nguyên dương nên $a - 4$ và $b - 4$ là ước của $8$.
Tới đây thì lập bảng rồi tính $a, b$ và kết luận.

 

[lamnguyen.rs]

Bài 3:
Ta có $S_{IABK} = (IA + BK).\dfrac{AB}{2}$
Do IA, AB không đổi ==> $S_{IABK}$ lớn nhất khi BK lớn nhất.
Dễ chứng minh TG IAC đồng dạng TG CBK ==> $\dfrac{IA}{CB} = \dfrac{AC}{BK}$ ==> $IA.BK = CB.CA$ <=> $BK = \dfrac{CB.CA}{IA} <= \dfrac{CB^2 + CA^2}{IA}$.
Dấu = xảy ra khi $CA = CB$ <=> $BK = \dfrac{AB^2}{4IA}$
Vậy $S_{IABK}$ có giá trị lớn nhất là $(IA + \dfrac{AB^2}{4IA}).\dfrac{AB}{2}$ khi C là trung điểm AB.

 

[lamnguyen.rs]

Bài 1:
Vẽ đường kính AD của (O) ==> TG ABD và ACD là 2 tam giác vuông ở B và C.
I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác PQCB ==> I thuộc trung trực PB và QC.
Vẽ IL vuông góc BP ==> IL là trung trực BP ==> L là trung điểm BP.
Mà IL // PH (do cùng vuông góc AB) ==> IL đi qua trung điểm HD hay trung trực BP đi qua trung điểm HD.
Tương tự trung trực QC đi qua trung điểm HD.
Suy ra trung trực PB, QC cắt nhau tại trung điểm HD ==> I là trung điểm HD ==> H, I, D thẳng hàng. (1)
KACB là tứ giác nội tiếp ==> MK.MA = MB.MC
PQCB là tứ giác nội tiếp ==> MB.MC = MP.MQ
Suy ra MK.MA = MP.MQ ==> AKPQ là tứ giác nội tiếp. Mà AQHK là tứ giác nội tiếp ==> AKHQ là tứ giác nội tiếp ==> $\widehat{AKH} = \widehat{AQH} = 90^0$ ==> HK vuông góc AM.
Mà KD vuông góc với AK (do AD là đường kính) nên K, H, D thẳng hàng (2)
Từ (1), (2) ==> K, H, I thẳng hàng.

 

[xlkslbccdtksexo]

(KLQ nhưng tiện thể cho mình biết làm thế nào để đánh được cái dấu lũy thừa thì càng tốt mình đánh sẵn trên Word rồi cop vào cũng k ra được. Thông cảm nha.)

ghi [tex] [tex] giữa hai cái kia ghi công thức là ra zô đây để biết [url]http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=4917[/url] :)&gt;-[/tex]