3 câu hỏi khó cần được giúp đỡ

[vkgunny1000]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 1: Giả sử $p \in \mathbb{Z} ,p \ge 5$.Chứng minh $p^2 - 1 \vdots 24$
Câu 2: Giả sử $p,p^2+2 \in \mathbb{Z}$ .Chứng minh $p^3 + 24 \in \mathbb{Z}$
Câu 3 : Cho $n \in \mathbb{N*}$.Biết $n - 10;n + 10;n + 60 \in \mathbb{P}$ . Chứng minh $n + 90\in \mathbb{P}$

Bạn hoc gõ latex ở đây nhé http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=247845

 

[bossjeunhan]

Bài 1 và bài 2 phải là số nguyên tố chự Nếu là số nguyên tố thì cách giải của mình đây:
Bài 1: $p^2 -1 = (p-1)(p+1)$
Do $p \ge5 ;p \in \mathbb{P} \Rightarrow p$ không $\vdots 3$; $p$ lẻ
Vì $p$ không $\vdots 3$ mà $p-1 ; p ; p+1$ là 3 số nguyên liên tiếp nên sẽ có 1 số $\vdots \ 3 $
$\Rightarrow \left[\begin{matrix}p-1 \ \vdots 3 \\ p+1 \ \vdots \ 3 \end{matrix}\right.$
$ \Rightarrow (p-1)(p+1) \ \vdots \ 3 \ \ (1)$
Do p lẻ
$\Rightarrow \ \ p-1; p+1$ là hai số chẵn liên tiếp
$ \Rightarrow (p-1)(p+1) \ \vdots \ 2x4=8 \ \ \ (2)$
Mà $(3,8)=1 \ \ \ (3) $
Từ (1),(2) và (3) $\Rightarrow p^2 -1 \ \vdots \ 3x8=24 $
Bài 2:
Nếu $p$ không $\vdots \ 3$
$\Rightarrow p^2 \equiv 1 (mod 3)$
$\Rightarrow p^2 +2 \ \vdots \ 3$
mà $p \in \mathbb{P} \Rightarrow p^2 +2 > 3$ (vô lí vì $p^2+2$ là số nguyên tố)
$\Rightarrow p \ \vdots \ 3$
mà $p \in mathbb{P} \Rightarrow p=3$
$\Rightarrow p^2 +2= 11$ (thỏa mãn)
$\Rightarrow p^3 + 24 = 51 $( không phải là số nguyên tố )
Vậy đề bài của bạn bị lỗi
Bài 3:
Nếu $n = 3k +2 (k\in \mathbb{N*})$
$\Rightarrow \begin{cases}n+10 = 3k + 12 \vdots 3 \\ 3k + 12> 3 \end{cases}$
$\Rightarrow$ vô lí vì $n +10 \in \mathbb{P}$

Nếu $n= 3k (k\in \mathbb{N*})$
$ \Rightarrow n+60 \ \vdots \ 3$
mà $n+60 > 3 \Rightarrow$ vô lí do $n+60 \in \mathbb{P}$
$\Rightarrow n=3k+1 (k \in \mathbb{N*})$
$ \Rightarrow n-10 = 3k+1 -10 = 3k -9 \ \vdots \ 3$
Mà $n-10 \in \mathbb{P}$
$\Rightarrow n-10 = 3$
$ \Rightarrow n=13$
thỏa mãn các điều kiện của đề bài
$\Rightarrow 13 + 90 = 103 \in \mathbb{P}$
$\Rightarrow$ đpcm