Toán 11 2 câu trong dề thi HSG toán cấp cụm

[Uchiha Sasuke']

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1, Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và m là trung điểm của SC. Một mặt phẳng (P) chứa AM và lần lượt cắt các cạnh SB, SD tại các điểm B', D' khác S. CMR:
[tex]\frac{4}{3}\leq \frac{SB'}{SB}+\frac{SD'}{SD}\leq \frac{3}{2}[/tex]

2, Cho a, b, c là các hằng số thực và P(x)=[tex]ax^{3}+bx^{2}+cx[/tex]. Tìm tất cả các số a, b, c sao cho P(2)=26 và [tex]\left | P(x) \right |\leq 1[/tex] với mọi số thực x sao cho [tex]\left | x \right |\leq 1[/tex].

 

[Học Trò Của Sai Lầm]

1) Dễ dàng chứng minh bổ đề sau:
Cho tam giác SBD, trung tuyến AO, đường thẳng d bất kì cắt SB,AO,SD lần lượt tại B',I,D'. Ta có: [tex]\frac{SB}{SB'}+\frac{SD}{SD'}=2\frac{SO}{SI}[/tex]
Áp dụng bổ đề, ta có:
[tex]\frac{SB}{SB'}+\frac{SD}{SD'}=2\frac{SO}{SI}=2.\frac{3}{2}=3[/tex]
Đặt [tex]\frac{SB}{SB'}=a;\frac{SD}{SD'}=b\Rightarrow a+b=3[/tex]
Sử dụng Cauchy-Schwarz, ta có:
[tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}=\frac{4}{3}[/tex]
Từ giả thiết suy ra [tex]a,b\in[1,2][/tex]
[tex]\Rightarrow (a-1)(2-a)\geq 0\Rightarrow ab\geq 2[/tex]
[tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{xy}\leq \frac{3}{2}[/tex]
Hoàn tất chứng minh