Câu 1:
Từ điều kiện có nghiệm của phương trình đã cho dẫn đến cho ta điều kiện của bài toán là $\ x >0$.
Logarit hóa ta được:$$x^{x+1}=(x+1)^x \Longleftrightarrow \ln x^{x+1}= \ln (x+1)^x \Longleftrightarrow (x+1)\ln x - x \ln (x+1)=0$$
Xét hàm số :$$y=f(x)=(x+1)\ln x -x \ln (x+1)\ , \quad x > 0$$
Ta có : $$f'(x) = \dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{x+1} - \ln \left(1 + \dfrac{1}{x} \right) $$
Mặt khác : $$ \dfrac{1}{x} - \ln \left(1 + \dfrac{1}{x} \right) > 0 \ , \quad x >0$$
Thật vậy ta xét hàm số : $$y =g(t) = t - \ln (1+t) \ , \quad t >0 \mbox{ với} \ t = \dfrac{1}{x}$$
Ta có : $$g'(t) = 1 - \dfrac{1}{1+t} = \dfrac{t}{1+t} > 0\ , \quad t > 0$$
Vậy hàm số $\ y =g(t)$ là hàm số đồng biến với $\ t > 0$
Do đó ta có : $$ g(t) > g(0) \Longleftrightarrow t - \ln (1+t) >0 \ , \quad t>0$$
Lúc đó ta có : $$f'(x) > \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{1+x}>0$$
Vậy hàm số $y=f(x)$ là hàm số đồng biến với $x >0$ nên phương trình $f(x) =0$ nếu có nghiệm thì nghiệm đó duy nhất
Lại có hàm số $\ y =f(x)$ là hàm số liên tục với $ x >0$
Mà: $$f(2)=\ln \dfrac{8}{9}< 0 \ , \ f(3) = \ln \dfrac{81}{64} >0$$
Suy ra: $\ f(2).f(3) <0$ . Nên phương trình $\ f(x)=0$ có nghiệm duy nhất $\ x_0 \in \left(2 \ ; \ 3 \right)$ và dể thấy đây là nghiệm dương duy nhất
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn