2 bài khó trong đề thi HSG huyện Nghĩa Đàn!

[star_lucky_o0o]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
[TEX]x^2+xy+y^2=x^2y^2[/TEX]

2.Cho (O;R),lấy điểm A,B nằm ngoài đường tròn sao cho AO=[TEX]\sqrt{2}R[/TEX].Xác định vị trí của điểm M thuộc đường tròn để
[TEX]\sqrt{2}MB+MA[/TEX]
đạt GTNN

2 câu dành cho bảng A mà ko làm được!(

 

[linhhuyenvuong]

1.Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
[TEX]x^2+xy+y^2=x^2y^2[/TEX]

C1: [TEX]x^2+xy+y^2=x^2y^2[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX] x^2+2xy+y^2=x^2y^2+xy[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](x+y)^2=xy(xy+1)[/TEX]

+ xy=0 \Rightarrow x=0;y=0
+xy+1=0 \Rightarrow [TEX] (x;y)={(1;-1);(-1;1)}[/TEX]

C2:[TEX]x^2+xy+y^2=x^2y^2[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]4x^2+4xy+4y^2=4x^2y^2[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]4x^2+8xy+4y^2=4x^2y^2+4xy[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](2x+2y)^2=(2xy+1)^2-1[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](2xy+1+2x+2y)(2xy+1-2x-2y)=1[/TEX]

Nhi ơi, N.G.U quá! càng làm càng N.G.U!
Sách t bài này có 6 cách!

 

[duynhan1]

1.Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
[TEX]x^2+xy+y^2=x^2y^2[/TEX]

Khi gặp 1 bài mà x, y đối xứng thì ta sẽ giả sử [TEX]x \le y[/TEX].
Bài ni cũng vậy.
Giả sử [TEX]|y| \le |x|[/TEX], ta có:
[TEX]x^2y^2 \le |x^2| + |y^2| + |xy| \le 3 x^2 \\ \Leftrightarrow y^2 \le 3[/TEX]
Từ đó thử từng giá trị của y.

 

[thienlong_cuong]

1.Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
[TEX]x^2+xy+y^2=x^2y^2[/TEX]

2.Cho (O;R),lấy điểm A,B nằm ngoài đường tròn sao cho AO=[TEX]\sqrt{2}R[/TEX].Xác định vị trí của điểm M thuộc đường tròn để
[TEX]\sqrt{2}MB+MA[/TEX]
đạt GTNN

Hình học (Nhát dao chí mạng)
trên OA lấy C sao cho [TEX]OC = \sqrt{2}R[/TEX]
Tam giác OMC ~ tam giác OAM (cgc)

\Rightarrow [TEX] \frac{OM}{OA} = \frac{MC}{AM}[/TEX]

\Rightarrow [TEX]AM = \frac{OA.MC}{OM} = \sqrt{2}MC [/TEX]

Giờ thấy

[TEX]AM + \sqrt{2}BM = \sqrt{2}(MC + MB) \geq \sqrt{2}BC[/TEX]

Thấy BC const

\Rightarrow MIN [TEX] AM + BM = \sqrt{2}BC[/TEX] \Leftrightarrow C ; M ; B thẳng hàng !
huhuhuhuhuhuhuhuuhu