2 bài cuối trong đề thi học sinh giỏi TP Hà Nội

[bboy114crew]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài IV (6 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). D là một điểm bất kì thuộc cung nhỏ AC (D khác A và C). Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ D tới các đường thẳng AB, AC. Gọi P là giao điểm các đường thẳng MN, BC.
1) Chứng minh DP và BC vuông góc với nhau.
2) Đường tròn (I; r) nội tiếp tam giác ABC. Tính IO với R = 5cm, r = 1,6cm.
Bài V (2 điểm)
Tìm các số x, y nguyên dương để C là số nguyên dương với [tex]\frac{x^3+x}{xy-1}[/tex]

 

[quan8d]

Bài IV (6 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). D là một điểm bất kì thuộc cung nhỏ AC (D khác A và C). Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ D tới các đường thẳng AB, AC. Gọi P là giao điểm các đường thẳng MN, BC.
1) Chứng minh DP và BC vuông góc với nhau.
2) Đường tròn (I; r) nội tiếp tam giác ABC. Tính IO với R = 5cm, r = 1,6cm.
Bài V (2 điểm)
Tìm các số x, y nguyên dương để C là số nguyên dương với [tex]\frac{x^3+x}{xy-1}[/tex]

Bài IV :
1) Dùng đường thẳng Simpson là ra
2) Cái này thì dùng định lý Ơ-le: [TEX]OI^2=R^2-2Rr[/TEX]
Nếu ko muốn dùng thì cm ra :
Từ I hạ IH vuông với AB, AI cắt (O) tại Q , QO cắt (O) tại K
AQ là fân giác \Rightarrow BQ = CQ
tg AHI ~ tg KCQ \Rightarrow [TEX]\frac{AI}{KQ} = \frac{HI}{QC} \Rightarrow AI.QC=KQ.HI=2R.r[/TEX]
tam giác BIQ cân tại Q ( vì g.QBI = g.QIB = g.ABI + g.BAI) \Rightarrow BQ=QI=QC
Suy ra : AI.QI = 2Rr
OI cắt (O) tại E và F thì IE.IF = AI.IQ
mà : [TEX]EI.IF = (OE-OI)(OF+OI)=R^2-OI^2[/TEX]
Do đó : [TEX]R^2-OI^2=2Rr[/TEX]
[TEX]\Rightarrow OI = \sqrt{R^2-2Rr}[/TEX]

 

[trydan]

Đường thẳng Simpson? Các bạn tham khảo thêm về cách chứng minh cũng như ứng dụng của đường thẳng này
_ http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=88049
_ Wiki http://vi.wikipedia.org/wiki/Đường_thẳng_Simson