2 bài BĐT hay

[hailuaxanh1992]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/ Cho x,y,z là các số dương.Tìm GTNN của:
[TEX]S = \sqrt[3]{{4(x^3 + y^3 )}} + \sqrt[3]{{4(y^3 + z^3 )}} + \sqrt[3]{{4(z^3 + x^3 )}} + 2(\frac{x}{{y^2 }} + \frac{y}{{z^2 }} + \frac{z}{{x^2 }})[/TEX]
2/ cho [TEX]a,b,c \ge 0[/TEX] và [TEX]a^2 + b^2 + c^2 = 3[/TEX] Tìm GTNN của:
[TEX]P = \frac{{a^3 }}{{\sqrt {1 + b^2 } }} + \frac{{b^3 }}{{\sqrt {1 + c^2 } }} + \frac{{c^3 }}{{\sqrt {1 + a^2 } }}[/TEX]

 

[rua_it]

1/ Cho x,y,z là các số dương.Tìm GTNN của:
[TEX]S = \sqrt[3]{{4(x^3 + y^3 )}} + \sqrt[3]{{4(y^3 + z^3 )}} + \sqrt[3]{{4(z^3 + x^3 )}} + 2(\frac{x}{{y^2 }} + \frac{y}{{z^2 }} + \frac{z}{{x^2 }})[/TEX]

2/ cho [TEX]a,b,c \ge 0[/TEX] và [TEX]a^2 + b^2 + c^2 = 3[/TEX] Tìm GTNN của:
[TEX]P = \frac{{a^3 }}{{\sqrt {1 + b^2 } }} + \frac{{b^3 }}{{\sqrt {1 + c^2 } }} + \frac{{c^3 }}{{\sqrt {1 + a^2 } }}[/TEX]

[tex]Am-Gm \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2.(1+b^2)} \leq \frac{b^2+3}{2\sqrt{2}}[/tex]

[tex]\Rightarrow LHS:=\sum_{cyclic} \frac{a^3}{\sqrt{1+b^2}} \geq \sum_{cyclic} \frac{a^3}{\frac{b^2+3}{2\sqrt{2}}}[/tex]

[tex]=2\sqrt{2}.\sum_{cyclic} \frac{a^3}{b^2+3}=2\sqrt{2}.\sum_{cyclic} \frac{a^4}{ab^2+3a}[/tex]

[tex] \geq 2\sqrt{2}.\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab^2+bc^2+ca^2+3.(a+b+c)}[/tex]

Mặt khác, theo Cauchy-Schwarzt ta có:

[tex]ab^2+bc^2+ca^2 \leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}[/tex]

[tex] \leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2).[\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}]}=3(1)[/tex]

Lại có: [tex]9=(1+1+1).(a^2+b^2+c^2) \geq (a+b+c)^2[/tex]

[tex]\Rightarrow a+b+c \leq 3(2)[/tex]

[tex](1)&(2) \Rightarrow LHS: \geq 2\sqrt{2}.\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3+3.(a+b+c)}= \frac{3.\sqrt{2}}{2}[/tex]

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi [tex]a=b=c=1[/tex]

 

[rua_it]

1/ Cho x,y,z là các số dương.Tìm GTNN của:
[TEX]S = \sqrt[3]{{4(x^3 + y^3 )}} + \sqrt[3]{{4(y^3 + z^3 )}} + \sqrt[3]{{4(z^3 + x^3 )}} + 2(\frac{x}{{y^2 }} + \frac{y}{{z^2 }} + \frac{z}{{x^2 }})[/TEX]

Đầu tiên, ta có kết quả quen thuộc sau:

[tex]Note:\sqrt[3]{4.(a^2+b^2)} \geq a+b[/tex]

Áp dụng vào bất đẳng thức trên, ta có:

[tex]\Rightarrow LHS: \geq x+y+y+z+z+x +2.(\frac{x}{{y^2 }} + \frac{y}{{z^2 }} + \frac{z}{{x^2 }})[/tex]

[tex]=\sum_{sym} x +\sum_{sym} \frac{x}{y^2}[/tex]

AM-GM cho 12 số:

[tex]LHS:\geq 12.\sqrt[12]{x^2y^2z^2.\frac{x^2y^2z^2}{x^4y^4z^4}}=12[/tex]

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi [tex]x=y=z=1[/tex]

 

[quyenuy0241]

[tex]Am-Gm \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2.(1+b^2)} \leq \frac{b^2+3}{2\sqrt{2}}[/tex]

[tex]\Rightarrow LHS:=\sum_{cyclic} \frac{a^3}{\sqrt{1+b^2}} \geq \sum_{cyclic} \frac{a^3}{\frac{b^2+3}{2\sqrt{2}}}[/tex]

[tex]=2\sqrt{2}.\sum_{cyclic} \frac{a^3}{b^2+3}=2\sqrt{2}.\sum_{cyclic} \frac{a^4}{ab^2+3a}[/tex]

[tex] \geq 2\sqrt{2}.\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab^2+bc^2+ca^2+3.(a+b+c)}[/tex]

Mặt khác, theo Cauchy-Schwarzt ta có:

[tex]ab^2+bc^2+ca^2 \leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}[/tex]

[tex] \leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2).[\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}]}=3(1)[/tex]

Lại có: [tex]9=(1+1+1).(a^2+b^2+c^2) \geq (a+b+c)^2[/tex]

[tex]\Rightarrow a+b+c \leq 3(2)[/tex]

[tex](1)&(2) \Rightarrow LHS: \geq 2\sqrt{2}.\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3+3.(a+b+c)}= \frac{3.\sqrt{2}}{2}[/tex]

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi [tex]a=b=c=1[/tex]

..............................................................................................................................
[tex]\sum\frac{a^3}{\sqrt{a^2+1}}+ \sum{\frac{a^3}{\sqrt{a^2+1}}+\sum{\frac{a^2+1}{2\sqrt{2}} \ge \sum {\frac{3(a^2)}{\sqrt{2}}} [/tex]

[tex]\sum{\frac{a^3}{\sqrt{a^2+1}} \ge \frac{3}{\sqrt{2}}[/tex]