1 vài bài hay về bất đẳng thức nè....

[heocon24]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1:Cho a,b,c>0;a+b+c=abc.Chứng minh rằng:a/(b^3)+b/(c^3)+c/(a^3)\geq1
Bài 2:Cho -1\leqx\leq1 và n nguyên dương.Chứng minh rằng: (1+x)^n+(1-x)^n\leq2^n.
Bài 3:Cho a,b,c>0.CMR:a^3/(a^2+b^2+ab)+b^3/(b^2+c^2+bc)+c^3/(c^2+a^2+ac)\geq(a+b+c)/3

 

[heocon24]

sao mọi người vẫn chưa ai làm vậy hay mấy bài này khó quá

 

[lazycat_95]

\Rightarrow\geq\geqcâu 3:
đặt p=a^3/(a^2+ab+b^2)+b^3/(b^2+bc+c^2)+c^3/(c^2+ac+a^2)
Q=b^3/(a^2+ab+b^2)+c^3/(b^2+bc+c^2)+a^3/(c^2+ac+a^2)
Ta dễ dàng c/m được P-Q=0\RightarrowP=Q
\Rightarrow2P=P+Q=(a+b)(a^2-ab+b^2)/(a^2+ab+b^2) +(b+c)(b^2-bc+c^2)/(b^2+bc+c^2) +(a+c)(a^2-ac+c^2)/(c^2+ac+c^2)
Ta cần c/m (a^2-ab+b^2)/(a^2+ab+b^2)\geq1/3 (1)
Do a^2-2ab+b^2\geq0
\Rightarrow2a^2-4ab+2b^2\geq0
\Rightarrow3(a^2-ab+b^2)\geqa^2+ab+b^2
\RightarrowBDT(1) ĐÚNG
C/M tuong tụ ta có: (a+b)(a^2-ab+b^2)/(a^2+ab+b^2)\geq1/3(a+b)
(b+c)(b^2-bc+c^2)/(b^2+bc+c^2)\geq1/3(b+c)
(c+a)(c^2-ac+a^2)/(c^2+ac+a^2)\geq1/3(c+a)
2P\geq2/3(a+b+c)
\RightarrowP\geqa+b+c/3

 

[thotrangdangyeu_baby95]

câu 3 ta chung minh cho:
a^3/(a^2+ab+b^2)\geq2a-b/3
\Leftrightarrow3a^3\geq(2a-b)(a^2+ab+b^2)
\Leftrightarrow3a^3\geq2a^3-a^2b+2ab^2-b^3+2a^2b-ab^2
\Leftrightarrow3a^3\geq2a^3+a^2b+ab^2-b^3
\Leftrightarrowa^3-a^2b-ab^2+b^3\geq0
\Leftrightarrowa^2(a-b)-b^2(a-b)\geq0
\Leftrightarrow(a-b)^2(a+b)\geq0 (do a,b>0 )
dấu = xảy ra \Leftrightarrow a=b
tương t­u
b^3/(b^2+bc+c^2)\geq2b-c/3
c^3/(c^2+ac+a^2)\geq2c-a/3
cong các BDT ta\Rightarrowđpcm
dấu = xảy ra a=b=c