T
thanghasonlam
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
1)Cô Si
Với 2 số:
$\frac{a+b}{2}$ \geq $\sqrt{ab}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
Với n số:
$\frac{x_1 + x_2 +... + x_n}{n}$ \geq $\sqrt[n]{x_1.x_2.....x_n}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x_1 = x_2 =... = x_n$
2)bất đẳng thức Cauchy Schwarz
$\frac {(a_1 + a_2 +...+a_{n-1}+ a_n)^2}{b_1 + b_2 +..+ b_{n-1} + b_n}$ \leq $\frac {a_1^2}{b_1}$ + $\frac {a_2^2}{b_2} $+...+ $\frac {a_{n-1}^2}{b_{n-1}}$ +$ \frac {a_n^2}{b_n} $
3)Schwarz
|$\langle x,y\rangle|^2$ \leq $\langle$ x,x$\rangle$ $\langle$ y,y$\rangle$
4)Bất đẳng thức Bunyakovsky
(a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)²
Bất đẳng thức này dễ dàng chứng minh bằng cách khai triển, rút gọn và biến đổi thành: $(ad - bc)² ≥ 0$
Dấu " = " xảy ra khi $\frac ac=$\dfrac {b}{d}$
Với hai bộ số $(a_1; a_2;...;a_n)$ và $(b_1; b_2;...;b_n)$ ta có:
$\left(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2\right)$ $\left(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2\right)$ \geq $(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{a_1}{b_1}$=$\frac{a_2}{b_2}$=...=$\frac{a_n}{b_n}$ với quy ước nếu một số b_i nào đó (i = 1, 2, 3,..., n) bằng 0 thì a_i tương ứng bằng 0.
5)Schur
với a, b, c là các số thực không âm và một số dương r, ta có bất đẳng thức sau:
$a^r(a-b)(a-c)+b^r(b-c)(b-a)+c^r(c-a)(c-b) $\geq 0
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc hai trong số chúng bằng nhau và số còn lại bằng không. Khi r là một số nguyên dương chẵn, thì bất đẳng thức trên đúng với mọi số thực a, b, và c.
6)Nesbit
Cho a,b,c là ba số thực dương. Khi đó ta có:
$\dfrac{a}{b+c}$+$\dfrac{b}{a+c}$+$\dfrac{c}{a+b}$ \geq $\dfrac{3}{2}$
Bạn phải chú ý Latex chứ,tớ mới sửa 1 số chỗ thôi bạn sửa tiếp đi.
Với 2 số:
$\frac{a+b}{2}$ \geq $\sqrt{ab}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
Với n số:
$\frac{x_1 + x_2 +... + x_n}{n}$ \geq $\sqrt[n]{x_1.x_2.....x_n}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x_1 = x_2 =... = x_n$
2)bất đẳng thức Cauchy Schwarz
$\frac {(a_1 + a_2 +...+a_{n-1}+ a_n)^2}{b_1 + b_2 +..+ b_{n-1} + b_n}$ \leq $\frac {a_1^2}{b_1}$ + $\frac {a_2^2}{b_2} $+...+ $\frac {a_{n-1}^2}{b_{n-1}}$ +$ \frac {a_n^2}{b_n} $
3)Schwarz
|$\langle x,y\rangle|^2$ \leq $\langle$ x,x$\rangle$ $\langle$ y,y$\rangle$
4)Bất đẳng thức Bunyakovsky
(a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)²
Bất đẳng thức này dễ dàng chứng minh bằng cách khai triển, rút gọn và biến đổi thành: $(ad - bc)² ≥ 0$
Dấu " = " xảy ra khi $\frac ac=$\dfrac {b}{d}$
Với hai bộ số $(a_1; a_2;...;a_n)$ và $(b_1; b_2;...;b_n)$ ta có:
$\left(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2\right)$ $\left(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2\right)$ \geq $(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{a_1}{b_1}$=$\frac{a_2}{b_2}$=...=$\frac{a_n}{b_n}$ với quy ước nếu một số b_i nào đó (i = 1, 2, 3,..., n) bằng 0 thì a_i tương ứng bằng 0.
5)Schur
với a, b, c là các số thực không âm và một số dương r, ta có bất đẳng thức sau:
$a^r(a-b)(a-c)+b^r(b-c)(b-a)+c^r(c-a)(c-b) $\geq 0
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc hai trong số chúng bằng nhau và số còn lại bằng không. Khi r là một số nguyên dương chẵn, thì bất đẳng thức trên đúng với mọi số thực a, b, và c.
6)Nesbit
Cho a,b,c là ba số thực dương. Khi đó ta có:
$\dfrac{a}{b+c}$+$\dfrac{b}{a+c}$+$\dfrac{c}{a+b}$ \geq $\dfrac{3}{2}$
Bạn phải chú ý Latex chứ,tớ mới sửa 1 số chỗ thôi bạn sửa tiếp đi.
Last edited by a moderator: