1 số bài toán hay (cần giúp đỡ :( )

[bonbebim]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. c/m [TEX]\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+...+\frac{1}{(2n)^2} <\frac{1}{2}[/TEX](n thuộc N, n>2)
2. c/m [TEX]\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}<1[/TEX](n thuộc N, n>2)
3. Cho [TEX]a,b,c >0; abc = 1 ; a + b + c > \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} . c/m (a-1)(b-1)(c-1)>0[/TEX]

4. c/m [TEX]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{3}{2}[/TEX]
5. c/m [TEX]4a^2b^2>(a^2+b^2-c^2)^2[/TEX](a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác)
6. c/m [TEX]x^8-x^5+x^2-x+1>0[/TEX]
7. c/m [TEX]4a(a+b)(a+1)(a+b+1)+b^2>0[/TEX]

P/S: ở bài 1,2 ko phải là c/1 đâu mà là 1/(2n)^2 va` 1/n^2 (ko bjk sao no' ra nhu* the^'

 

[linh954]

1. c/m [TEX]\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+...+\frac{1}{(2n)^2} <\frac{1}{2}[/TEX](n thuộc N, n>2)
2. c/m [TEX]\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}<1[/TEX](n thuộc N, n>2)
3. Cho [TEX]a,b,c >0; abc = 1 ; a + b + c > \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} . c/m (a-1)(b-1)(c-1)>0[/TEX]

4. c/m [TEX]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{3}{2}[/TEX]
5. c/m [TEX]4a^2b^2>(a^2+b^2-c^2)^2[/TEX](a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác)
6. c/m [TEX]x^8-x^5+x^2-x+1>0[/TEX]
7. c/m [TEX]4a(a+b)(a+1)(a+b+1)+b^2>0[/TEX]

P/S: ở bài 1,2 ko phải là c/1 đâu mà là 1/(2n)^2 va` 1/n^2 (ko bjk sao no' ra nhu* the^'

Bài 1,2 thử vận dụng công thức sau
[TEX] \frac{1}{2a^2}<\frac{1}{2a(2a-1)}=\frac{2a-(2a-1)}{2a(2a-1)}=\frac{1}{2a-1}-\frac{1}{2a}[/TEX]
bài 4:[TEX]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{3}{2}[/TEX] (1))

[TEX] \Leftrightarrow \frac{a}{b+c}- \frac{1}{2}+\frac{b}{a+c}- \frac{1}{2}+\frac{c}{a+b}-\frac{1}{2}\geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{a-b}{b+c}+\frac{a-c}{b+c}+\frac{b-a}{a+c}+\frac{b-c}{a+c}+\frac{c-a}{a+b}+\frac{c-b}{a+b} \geq 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (a-b)(\frac{1}{b+c}-\frac{1}{a+c})+(a-c)(\frac{1}{b+c}-\frac{1}{a+b})+(b-c)(\frac{1}{a+c}-\frac{1}{a+b}) \geq 0[/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{(b+c)(a+c)}+\frac{(a-c)^2}{(a+b)(b+c)}+\frac{(b-c)^2}{(a+c)(a+b)} \geq 0 [/TEX](2))
Vì (2) luôn đúng với a,b,c >0 (thiếu điều kiện này ở đầu bài ha)
suy ra (1) luôn đúng với a,b,c >0
Thui làm thế thui mỏi tay rùi Lúc khác làm tiếp

 

[hg201td]

1. c/m [TEX]\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+...+\frac{1}{(2n)^2} <\frac{1}{2}[/TEX](n thuộc N, n>2)
2. c/m [TEX]\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}<1[/TEX](n thuộc N, n>2)
3. Cho [TEX]a,b,c >0; abc = 1 ; a + b + c > \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} . c/m (a-1)(b-1)(c-1)>0[/TEX]

4. c/m [TEX]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{3}{2}[/TEX]
5. c/m [TEX]4a^2b^2>(a^2+b^2-c^2)^2[/TEX](a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác)
6. c/m [TEX]x^8-x^5+x^2-x+1>0[/TEX]
7. c/m [TEX]4a(a+b)(a+1)(a+b+1)+b^2>0[/TEX]

P/S: ở bài 1,2 ko phải là c/1 đâu mà là 1/(2n)^2 va` 1/n^2 (ko bjk sao no' ra nhu* the^'

4/ko cần phức tạp như linh954
Chỉ cần nhân thêm lượng [TEX]\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}[/TEX]
5/Cần CM
[TEX](2ab)^2- (a^2+b^2-c^2)^2>0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow[/TEX] [TEX](2ab-a^2-b^2+c^2)(2ab+a^2+b^2+c^2)>0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow[/TEX] [TEX](c^2-(a-b)^2)(a+b)^2+c^2)>0[/TEX] (1)
BĐT tam giác
c>a-b
[TEX]\Rightarrow c^2> (a-b)^2[/TEX] (2)
Từ (1) và (2) [TEX]\Rightarrow[/TEX] đpcm
7/[TEX]A=x^5(x^3+1) +x^2-x+1[/TEX]
[TEX]\Rightarrow A=x^5(x+1)(x^2-x+1) + x^2-x+1[/TEX]
[TEX]\Rightarrow A=(x^6+x^5+1)(x^2-x+1)[/TEX]
Ta có [TEX]x^2-x+1=(x-\frac{1}{2}x)^2+\frac{3}{4} >0[/TEX]
[TEX]x^6+x^5+1[/TEX] thì tương tự như [TEX]x^2+x+1>0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow[/TEX] ĐPCM
8/