Toán 9 1. Chứng minh với mọi m,n nguyên: [tex]n^{2}(n^{4}-1)\vdots 12[/tex]

[Tríp Bô Hắc]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Chứng minh với mọi m,n nguyên:
a) [tex]n^{2}(n^{4}-1)\vdots 12[/tex]
b) [tex]mn(m^{4}-n^{4})\vdots 30[/tex]
c) [tex]n^{5}-n\vdots 30[/tex]
d) [tex]2n(16-n^{4})\vdots 30[/tex]
2. Chứng minh rằng:
a/. [tex]n^{4}+6n^{3}+11n^{2}+6n \vdots 24[/tex] với mọi n thuộc N
b/. [tex]n^{4}-4n^{3}-4n^{2}+16n \vdots 384[/tex] với n>4
Cần gấp

 

[0948207255]

phân tích thành nhân tử

 

[Ann Lee]

Bài 1:
a) [tex]n^2(n^4-1)=n^2(n^2-1)(n^2+1)=n.n.(n-1).(n+1).(n^2+1)[/tex]
Ta có [TEX]n.(n-1).(n+1)[/TEX] là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên [tex]n.(n-1).(n+1)\vdots 3[/tex]
Suy ra [tex]n^2(n^4-1)\vdots 3[/tex]
Với n lẻ thì [tex](n-1).(n+1)\vdots 4\Rightarrow n^2(n^4-1)\vdots 4[/tex]
Với n chẵn thì [tex]n.n\vdots 4\Rightarrow n^2(n^4-1)\vdots 4[/tex]
Suy ra [tex]n^2(n^4-1)\vdots 4[/tex]
Mà [tex](3;4)=1\Rightarrow n^2(n^4-1)\vdots 12(dpcm)[/tex]

b) [tex]mn(m^4-n^4)=mn[(m^4-1)-(n^4-1)]=mn(m^4-1)-mn(n^4-1)[/tex]
Xét [tex]mn(m^4-1)=mn(m^2-1)(m^2+1)\\=mn(m^2-1)(m^2-4+5)\\=mn(m^2-1)(m^2-4)+5mn(m^2-1)\\=(m-2)(m-1)m(m+1)(m+2).n+5.n.(m-1).m.(m+1)[/tex]
Vì [TEX](m-2)(m-1)m(m+1)(m+2)[/TEX] là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên [TEX](m-2)(m-1)m(m+1)(m+2)[/TEX] chia hết cho 2;3;5
Mà [tex](2;3;5)=1\Rightarrow (m-2)(m-1)m(m+1)(m+2)\vdots 30[/tex] (1)
Lại có [TEX](m-1).m.(m+1)[/TEX] là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên [tex](m-1).m.(m+1)\vdots 6[/tex]; [tex](5;6)=1[/tex]
Suy ra [tex]5.n.(m-1).m.(m+1)\vdots 30[/tex] (2)
Từ (1) và (2) suy ra [tex](m-2)(m-1)m(m+1)(m+2).n+5.n.(m-1).m.(m+1)\vdots 30\\\Leftrightarrow mn(m^4-1)\vdots 30[/tex]
Tương tự: [tex]mn(n^4-1)\vdots 30[/tex]
Suy ra [tex]mn(m^4-n^4)\vdots 30(dpcm)[/tex]

c) [tex]n^5-n=n(n^4-1)\\=n(n^2-1)(n^2+1)\\=n(n^2-1)(n^4-4+5)\\=n(n^2-1)(n^2-4)+5.n(n^2-1)\\=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5(n-1)n(n+1)[/tex]
Đến đây thì dễ rồi nhỉ

d) [tex]2n(16-n^4)=2n.[(1-n^4)+15]=2n(1-n^4)+30n=-2n(n^4-1)+30n[/tex]
Theo những câu c thì [tex]n(n^4-1)\vdots 30\Rightarrow -2n(n^4-1)\vdots 30[/tex]
Bạn tự làm nốt được.

Bài 2:
a) [tex]n^4+6n^3+11n^2+6n=n(n^3+6n^2+11n+6)=n(n+1)(n+2)(m+3)[/tex]
Vì [TEX]n(n+1)(n+2)(m+3)[/TEX] là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp nên [TEX]n(n+1)(n+2)(m+3)[/TEX] chia hết cho 2;3;4
Mà [tex](2;3;4)=1[/tex] nên [tex]n(n+1)(n+2)(m+3)\vdots 24(dpcm)[/tex]

b) Xem lại đề với n lẻ; n>4 thì [tex]n^4-4n^3-4n^2+16n[/tex] không chia hết cho 384
Thật vậy:
Xét n=5 thì [tex]n^4-4n^3-4n^2+16n=105[/tex] không chia hết cho 384
Xét n=7 thì [tex]n^4-4n^3-4n^2+16n=945[/tex] không chia hết cho 384
.....

 

[lengoctutb]

Bài 1:
a) [tex]n^2(n^4-1)=n^2(n^2-1)(n^2+1)=n.n.(n-1).(n+1).(n^2+1)[/tex]
Ta có [TEX]n.(n-1).(n+1)[/TEX] là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên [tex]n.(n-1).(n+1)\vdots 3[/tex]
Suy ra [tex]n^2(n^4-1)\vdots 3[/tex]
Với n lẻ thì [tex](n-1).(n+1)\vdots 4\Rightarrow n^2(n^4-1)\vdots 4[/tex]
Với n chẵn thì [tex]n.n\vdots 4\Rightarrow n^2(n^4-1)\vdots 4[/tex]
Suy ra [tex]n^2(n^4-1)\vdots 4[/tex]
Mà [tex](3;4)=1\Rightarrow n^2(n^4-1)\vdots 12(dpcm)[/tex]

b) [tex]mn(m^4-n^4)=mn[(m^4-1)-(n^4-1)]=mn(m^4-1)-mn(n^4-1)[/tex]
Xét [tex]mn(m^4-1)=mn(m^2-1)(m^2+1)\\=mn(m^2-1)(m^2-4+5)\\=mn(m^2-1)(m^2-4)+5mn(m^2-1)\\=(m-2)(m-1)m(m+1)(m+2).n+5.n.(m-1).m.(m+1)[/tex]
Vì [TEX](m-2)(m-1)m(m+1)(m+2)[/TEX] là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên [TEX](m-2)(m-1)m(m+1)(m+2)[/TEX] chia hết cho 2;3;5
Mà [tex](2;3;5)=1\Rightarrow (m-2)(m-1)m(m+1)(m+2)\vdots 30[/tex] (1)
Lại có [TEX](m-1).m.(m+1)[/TEX] là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên [tex](m-1).m.(m+1)\vdots 6[/tex]; [tex](5;6)=1[/tex]
Suy ra [tex]5.n.(m-1).m.(m+1)\vdots 30[/tex] (2)
Từ (1) và (2) suy ra [tex](m-2)(m-1)m(m+1)(m+2).n+5.n.(m-1).m.(m+1)\vdots 30\\\Leftrightarrow mn(m^4-1)\vdots 30[/tex]
Tương tự: [tex]mn(n^4-1)\vdots 30[/tex]
Suy ra [tex]mn(m^4-n^4)\vdots 30(dpcm)[/tex]

c) [tex]n^5-n=n(n^4-1)\\=n(n^2-1)(n^2+1)\\=n(n^2-1)(n^4-4+5)\\=n(n^2-1)(n^2-4)+5.n(n^2-1)\\=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5(n-1)n(n+1)[/tex]
Đến đây thì dễ rồi nhỉ

d) [tex]2n(16-n^4)=2n.[(1-n^4)+15]=2n(1-n^4)+30n=-2n(n^4-1)+30n[/tex]
Theo những câu c thì [tex]n(n^4-1)\vdots 30\Rightarrow -2n(n^4-1)\vdots 30[/tex]
Bạn tự làm nốt được.

Bài 2:
a) [tex]n^4+6n^3+11n^2+6n=n(n^3+6n^2+11n+6)=n(n+1)(n+2)(m+3)[/tex]
Vì [TEX]n(n+1)(n+2)(m+3)[/TEX] là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp nên [TEX]n(n+1)(n+2)(m+3)[/TEX] chia hết cho 2;3;4
Mà [tex](2;3;4)=1[/tex] nên [tex]n(n+1)(n+2)(m+3)\vdots 24(dpcm)[/tex]

b) Xem lại đề với n lẻ; n>4 thì [tex]n^4-4n^3-4n^2+16n[/tex] không chia hết cho 384
Thật vậy:
Xét n=5 thì [tex]n^4-4n^3-4n^2+16n=105[/tex] không chia hết cho 384
Xét n=7 thì [tex]n^4-4n^3-4n^2+16n=945[/tex] không chia hết cho 384
.....

Em có thể nói như thế này sẽ ngắn gọn hơn $!$
Nếu $A$ là tích của $n$ số nguyên dương liên tiếp thì $A \vdots n!$