1 câu bất đẳng thức có vẻ đơn giản

[nguathan95]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

a,b,c>0 thoả mãn abc=1.
CMR: [tex]\frac{a^4b}{a^2+1}+\frac{b^4c}{b^2+1}+\frac{c^4a}{c^2+1} \geq \frac{3}{2}[/tex]
Làm dùm mình với, mình làm mãi mà cứ bị ngược dấu

 

[hocmaitlh]

anh làm nha:[TEX] \frac{a^4b}{a^2+1}+\frac{b^4c}{b^2+1}+\frac{c^4a}{c^2+1}\geq\frac{3}{2} (*)[/TEX]
ta có:[TEX] \frac{a^4b}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{4} \geq a^2[/TEX]
tương tự :[TEX]\frac{b^4c}{b^2+1}+\frac{b^2+1}{4} \geq b^2[/TEX]
[TEX]\frac{c^4b}{c^2+1}+\frac{c^2+1}{4}\geq c^2[/TEX]
cộng 3 bdt trên theo vế ta có :
vt (*)\geq[TEX] a^2+b^2+c^2-\frac{a^2+b^2+c^2+3}{4}=\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)-\frac{3}{4}\geq\frac{3}{2}[/TEX]
dấu = \Leftrightarrow a=b=c=1
(sr anh em làm nhầm)..................anh thông cảm lộn..................................................................

 

[bboy114crew]

Bài trên làm như thế này nè cậu!
Dễ thấy [TEX]a^2b+a^2b+c^2a \geq 3a[/TEX]
[TEX]b^2c+b^2c+a^2b \geq 3b[/TEX]
[TEX]c^2a+c^2a+b^2c \geq 3c[/TEX]
Cộng vế theo vế ta có [TEX]a^2b+b^2c+c^2a \geq a+b+c[/TEX]
Theo BĐT AM-GM ta có [TEX]\frac{a^4b}{a^2+1} =a^2b\left(1-\frac{1}{1+a^2}\right) \geq a^2b-\frac{1}{2}ab[/TEX]
suy ra [TEX]\sum\frac{a^4b}{a^2+1} \geq \sum a^2b-\frac{1}{2}\sum ab \geq \frac{1}{2}\sum \left(a^2b+b\right)-\frac{1}{2}\sum ab\geq \frac{\sum ab}{2} \geq \frac{3}{2}[/TEX]