1 bài vui!

[mathstarofvn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài này mình sáng tác lâu rồi, giờ post lên anh em giải thử
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn: [tex] a^2+b^2+c^2 \geq 3[/tex]
CMR:[tex] (2a+\frac{1}{b})^3+(2b+\frac{1}{c})^3+(2c+\frac{1}{a})^3 \geq 81[/tex]

 

[mathstarofvn]

Thêm 1 bài nữa nè (cũng là sản phẩm của mình )
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn: ab+ac+bc=abc, CMR:
[tex] (a-1)^3+(b-1)^3+(c-1)^3 \geq 24[/tex]

 

[dandoh221]

bạn ơi, bài bdt thứ 2 ấy. nếu a,b,c đồng thời bé thua 3 thì bdt ko đúng. nếu từ đk suy ra thì [TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} = 1[/TEX]. có rất nhiều cách chọn số

 

[dandoh221]

ặc. úi chết. nhầm rồi. sorry , vừa posst đã bị nhầm @-)\infty
tớ xin post lại lời giải. từ [TEX]\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+\frac{1}{c} = 1 \Rightarrow a+b+c \geq 9.[/TEX]
ta có [TEX]VT \geq 3(x-1)(y-1)(z-1) = 3(x+y+z-1) \geq 24[/TEX]

 

[mathstarofvn]

Bài 2 công nhận cũng đơn giản, ta có thể cm bằng bđt [tex] (a-1)^3+(b-1)^3+(c-1)^3 \geq \frac{(a+b+c-3)^3}{9}[/tex]
Anh em nhiệt tình tham gia giải bài 1 đi!
Có bài mới nữa nè:
Cho các số thực dương thỏa mãn[tex] \frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}=2[/tex]
CMR: [tex] \frac{a}{(a+b)(a+c)}+\frac{b}{(b+c)(b+a)}+\frac{c}{(c+a)(c+b)} < \frac{9}{8}[/tex]

 

[dandoh221]

hình như [TEX] x^3 + y^3 + z^3 \geq \frac{1}{9}(a+b+c)^3[/TEX] làm gì có 27 ???

 

[mathvn]

Bài này mình sáng tác lâu rồi, giờ post lên anh em giải thử
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn: [tex] a^2+b^2+c^2 \geq 3[/tex]
CMR:[tex] (2a+\frac{1}{b})^3+(2b+\frac{1}{c})^3+(2c+\frac{1}{a})^3 \geq 81[/tex]

bài 1 đề đúng hok mathstarofvn hay là đề như zầy
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn: [tex] a^2+b^2+c^2 \geq 3[/tex]
CMR:[tex] (a+\frac{2}{b})^3+(b+\frac{2}{c})^3+(c+\frac{2}{a})^3 \geq 81[/tex]

 

[mathstarofvn]

Đề của mình rất chính xác! Bạn cứ yên tâm, mình là tác giả mà, còn bài của bạn thì không chính xác với a=b=c=3/2

 

[dandoh221]

Bài này mình sáng tác lâu rồi, giờ post lên anh em giải thử
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn: [tex] a^2+b^2+c^2 \geq 3[/tex]
CMR:[tex] (2a+\frac{1}{b})^3+(2b+\frac{1}{c})^3+(2c+\frac{1}{a})^3 \geq 81[/tex]

Áp dụng bdt AM-GM :
[TEX]\sum_{cyc} (2a+\frac{1}{b})^3 \geq 27\sum_{cyc} \frac{a^2}{b}[/TEX]
bây giờ ta sẽ CM : [TEX]\sum_{cyc} \frac{a^2}{b} \geq \sum_{cyc} \frac{ab}{c}[/TEX]
luôn đúng theo bdt hoán vị.
mà [TEX]a^2+b^2+c^2 \geq 3 [/TEX]
ta có [TEX](\sum_{cyc} \frac{ab}{c})^2 = 2(a^2+b^2+c^2) + \sum_{cyc} \frac{a^2b^2}{c^2} \geq 3(a^2+b^2+c^2)\geq9[/TEX]
đpcm

 

[mathstarofvn]

Mình đưa ra lời giải bài 1 nhé!
Trước tiên với đk của bài toán ta sẽ chứng minh bổ đề sau:[tex] (a+b+c)^2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq 27[/tex] Đặt [tex]A= (a+b+c),B=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/tex]
Thật vậy ta có [tex] VT \geq 3(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) + 4(a+b+c)+\frac{2ac}{b}+\frac{2bc}{a}+\frac{2ab}{c} \geq 3A+6B[/tex]Vậy [tex] AB^2 \geq 9 \sqrt[3]{AB^2} \Rightarrow AB^2 \geq 27[/tex]
Từ đây suy ra ngay kết quả bài toán:
[tex] VT \geq \frac{[2(a+b+c)+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})]^3}{9} \geq 81[/tex]

 

[mathstarofvn]

Các bạn cứ tiếp tục chém bài 3 nhé! Mình cho ra 1 bài nữa nè
Cho a,b,c>0 CMR:[tex] \frac{a+b}{3a^2+(2b+c)(a+b+c)}+\frac{b+c}{3b^2+(2c+a)(a+b+c)}+\frac{c+a}{3c^2+(2a+b)(a+b+c)} \leq \frac{3}{2(a+b+c)}[/tex]

 

[mathvn]

Các bạn cứ tiếp tục chém bài 3 nhé! Mình cho ra 1 bài nữa nè
Cho a,b,c>0 CMR:[tex] \frac{a+b}{3a^2+(2b+c)(a+b+c)}+\frac{b+c}{3b^2+(2c+a)(a+b+c)}+\frac{c+a}{3c^2+(2a+b)(a+b+c)} \leq \frac{3}{2(a+b+c)}[/tex]

mất cả tiếng
[TEX]\sum\frac{a+b}{3a^2+(2b+c)(a+b+c)}=\sum\frac{(a+b)}{(b+c)^2+2a^2+(a+b)(a+b+c)}\le \sum\frac{1}{4}(\frac{a+b}{(b+c)^2+2a^2}+\frac{1}{a+b+c})[/TEX]
Ta có :
[TEX]\sum\frac{a+b}{(b+c)^2+2a^2}=\sum\frac{2(a+b)}{4a^2+(b+c)^2+(b+c)^2}\le \sum\frac{3(a+b)}{2(a+b+c)^2}=\frac{3}{a+b+c}[/TEX]
\Rightarrow đ.p.c.m
p/s:mathstarofvn post cách giải lên tham khảo với
đã sửa chữa,lỗi kỉ thuật

 

[bigbang195]

mất cả tiếng
[TEX]\sum\frac{a+b}{3a^2+(2b+c)(a+b+c)}=\sum\frac{(a+b)}{(b+c)^2+2a^2+(a+b)(a+b+c)}\ge \sum\frac{1}{4}(\frac{a+b}{(b+c)^2+2a^2}+\frac{1}{a+b+c})[/TEX]

Cai nay xem lai ho minh cai. lam gi co BDT nay .

 

[dandoh221]

Cai nay xem lai ho minh cai. lam gi co BDT nay .

[TEX]\sum\frac{a+b}{3a^2+(2b+c)(a+b+c)}=\sum\frac{(a+b) }{(b+c)^2+2a^2+(a+b)(a+b+c)}\ge \sum\frac{1}{4}(\frac{a+b}{(b+c)^2+2a^2}+\frac{1}{ a+b+c})[/TEX]
đúng là ko có bdt này mà là )
[TEX]\sum\frac{a+b}{3a^2+(2b+c)(a+b+c)}=\sum\frac{(a+b) }{(b+c)^2+2a^2+(a+b)(a+b+c)}\leq \sum\frac{1}{4}(\frac{a+b}{(b+c)^2+2a^2}+\frac{1}{ a+b+c})[/TEX]

[TEX]\sum\frac{a+b}{(b+c)^2+2a^2}=\sum\frac{2(a+b)}{4a^2+(b+c)^2+(b+c)^2}\le \sum\frac{3(a+b)}{2(a+b+c)^2}=\frac{3}{a+b+c}[/TEX]
khoái cái đoạn này. nhứt cái phần nhân 2 vào tử mẫu ấy.
P/S : Cậu giải hay và có cái avatar ngầu thiệt

 

[bigbang195]

[TEX]\sum\frac{a+b}{3a^2+(2b+c)(a+b+c)}=\sum\frac{(a+b) }{(b+c)^2+2a^2+(a+b)(a+b+c)}\leq \sum\frac{1}{4}(\frac{a+b}{(b+c)^2+2a^2}+\frac{1}{ a+b+c})[/TEX]

[TEX]\sum\frac{a+b}{3a^2+(2b+c)(a+b+c)}=\sum\frac{(a+b) }{(b+c)^2+2a^2+(a+b)(a+b+c)} \leq \frac{1}{4}(a+b)(\frac{1}{(b+c)^2+2a^2}+\frac{1}{ a+b+c})[/TEX]

xem lai lan nua di dandoh .chang le minh sai that

 

[mathstarofvn]

Bạn mathvn giải rất giống với hướng mà mình sáng tác bài này. Và cái đoạn mà bạn dadoh khoái ấy ta có thể dùng Cauchy-Swharz:[tex] (\frac{1}{3}+\frac{2}{3})(2a^2+(b+c)^2) \geq \frac{2}{3}(a+b+c)^2 :)[/tex]
Bạn xem trang trước mà giải bài 3 đi! Và mình cũng mới chế đc thêm bài mới nè!
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn:[tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1[/tex] CMR
[tex]\frac{a^3(2b^2+a)}{2b^2+1}+\frac{b^3(2c^2+b)}{2c^2+1}+\frac{c^3(2a^2+c)}{2a^2+1} \geq 1[/tex]