1 bài trong đề thi olympic toán quốc tế lần thứ 49

[quang1234554321]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

a)CMR:
[TEX]\frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)^2}+\frac{z^2}{(z-1)^2}\geq1[/TEX]
với mọi số thực x,y,z,mỗi số đều khác 1 và thoả mãn [TEX]xyz=1[/TEX]

b)Chứng minh rằng đẳng thức xảy ra đối với vô hạn bộ 3 các số hữu tỉ [TEX]x,y,z[/TEX],mỗi số đều #1 và thoả mãn [TEX]xyz=1[/TEX]

 

[ctsp_a1k40sp]

a)CMR:
[TEX]\frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)^2}+\frac{z^2}{(z-1)^2}\geq1[/TEX]
với mọi số thực x,y,z,mỗi số đều khác 1 và thoả mãn [TEX]xyz=1[/TEX]

b)Chứng minh rằng đẳng thức xảy ra đối với vô hạn bộ 3 các số hữu tỉ [TEX]x,y,z[/TEX],mỗi số đều #1 và thoả mãn [TEX]xyz=1[/TEX]

Bài này là bài dễ nhất trong đề thi(.............................)

Đặt
[TEX]a = \frac {x}{1 - x},b = \frac {y}{1 - y},c = \frac {z}{1 - z} [/TEX]
nên ta có
[TEX]abc = (a + 1)(b + 1)(c + 1) = \frac {1}{(x - 1)(y - 1)(z - 1)}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow ab + ac + bc + a + b + c + 1 = 0[/TEX]
Vì thế
[TEX]a^2 + b^2 + c^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) + 2(a + b + c) + 2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c + 1)^2 + 1\geq 1[/TEX]
Ta có dpcm
dấu bằng khi [TEX]a + b + c + 1 = 0 [/TEX]
hay
[TEX]xy + zx + zx = 3 [/TEX]
Từ [TEX]x = \frac {1}{yz}[/TEX] ta có
[TEX]\frac {1}{z} + \frac {1}{y} + yz = 3[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow z^2y^2 - y(3z - 1) + z = 0[/TEX]
[TEX]\Delta = (3z - 1)^2 - 4z^3 = (z - 1)^2(1 - 4z)[/TEX]
Chọn [TEX]z = \frac {1 - m^2}{4},|m| > 0[/TEX] thì sẽ tồn tại y thỏa mãn
Vì [TEX]x = \frac {1}{yz}[/TEX] nên ta có dpcm.
Have done

 

[quang1234554321]

chứng minh tồn tại vô hạn số nguyên dương [TEX]n[/TEX] sao cho[TEX]n^2+1 [/TEX]
có ước nguyên tố lớn hơn [TEX]2n+\sqrt[]{2n}[/TEX]

 

[arxenlupin]

Đã biết rõ nguồn thì trên mạng thiếu gì trang có cách giải, đáp án. Việc làm đc 2 bài ở trên chả chứng minh đc điều gì cả

Từ bài quốc tế đó có rút ra đc điều gì ko, có giúp ích nâng cao kỹ năng phổ thông ko, có giúp ích cho đại học ko ?

 

[eternal_fire]

Thực ra diễn đàn toán hocmai.vn hướng đến đối tượng là các bạn học sinh phổ thông thi đại học.Vì vậy không nên có những bài quá khó,mà nhất là lại ghi nguồn.Mà nên có những mài vừa sức thi đại học,mà những bài đó có những phương pháp giải đặc trưng hoặc 1 phương pháp giải ngắn và hay,hoặc đôi chút sự sáng tạo.

 

[arxenlupin]

ừ , tôi quên mất , nhưng tại ko ai làm cả nên mới nói thế cho mọi người có động lực để làm, ai ngờ ai cũng nản đi

Ở đây ko thiếu ng học chuyên, ko thiếu ng ko chuyên nhưng ko làm. Ko phải để tự đề cao mình, nhưng cũng giới thiệu rằng tôi đã từng là học sinh một trg chuyên có tiếng, ko giỏi, nhưng có cái danh

Những bài toán trên thật sự vượt tầm của học sinh phổ thông và nó ko có ích với việc ôn thi đại học hay thi tốt nghiệp

Thật sự cảm ơn cho tấm lòng của cậu Quang, nhưng anh thấy chú cứ post các bài tập trên các topic nhưng rất lộn xộn, đang hỏi một bài logarit, giải cho bạn xong chú liền ra ngay một bài hàm sô liên quan đến lượng giác khác ( mới đây, anh ko chú ý rõ ). Thiết nghĩ nếu chú tập trung cho các bài tập thuộc cùng một dạng cho vào một chỗ, đưa đề giải đáp, một số hướng mở rộng, chú ý và giải đáp một số yêu cầu của các bạn thì tốt hơn

Ở trên là thiển ý của anh. Mong chú xem xét

@ Quang : chú có thể liên hệ với nick YM : choat84 để xin làm mod, có gì chưa hiểu hãy hỏi anh ấy. Chúc chú thành công