1 bài trong đề thi HSG tỉnh Hà Tĩnh

[kukumalu_2010]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC cân tại A. Hai điểm M, N lần lượt di dộng trên hai cạnh AB, AC sao cho MN = MB + NC. Tia phân giác goc BMN cắt cạnh NB tại P. Gọi Q là 1 điểm thuộc đoạn thẳng MN thỏa mãn MQ = MB. Chưng minh:
a) Tia PN là phân giác của góc QPC
b) Đương thẳng MP luôn đi qua 1 điểm cố định khi M, N di động

 

[xyzt1402]

a) Tam giác MQP và tam giác MBP có BM=MQ[TEX]\{BMP}=\{QMP};[/TEX] cạnh MP chung [TEX]\Rightarrow[/TEX] tam giác MQP= tam giác BMP [TEX]\Rightarrow \{MQP}=\{MBQ}[/TEX]. Mà [TEX]\{MBP}=\{ACB} \Rightarrow\{MQP}=\{ACB} \Rightarrow[/TEX] tứ giác QNCP nội tiếp [TEX]\Rightarrow \{QPN}=\{QCN}[/TEX] và [TEX]\{NPC}=\{QNC}[/TEX]. Mà QN=MN-MQ=MN-MB=NC [TEX]\Rightarrow[/TEX] tam giác QNC cân tại N[TEX]\Rightarrow \{NQC}=\{NCQ} \Rightarrow \{QPN}=\{NPC}[/TEX]. Vậy PN là tia phân giác của góc QPC.
b) Gọi O là giao điểm của tia phân giác góc BMN và phân giác góc MNC. Dễ chứng minh BO=OC=QO và MBO=MQO và NQO=NCO. Ta cũng có BO=OC; AB=AC; cạnh AO chung [TEX]\Rightarrow[/TEX] tam giác ABO=Tam giác ACO [TEX]\Rightarrow[/TEX] MBO=NCO. [TEX]\Rightarrow[/TEX] MQO=NQO. Mà MQO+NQO=180 [TEX]\Rightarrow[/TEX] MQO=90 [TEX]\Rightarrow[/TEX] MBO=90. Điểm O là giao điểm của phân giác AO ( Tam giác ABO= Tam giác ACO) và đường vuông góc với AB cố định [TEX]\Rightarrow[/TEX] O cố định [TEX]\Rightarrow[/TEX]dpcm