1 bài toán trong viplympic

[black_97]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm số dư khi chia [TEX]x^{51}[/TEX]+[TEX]x^{50}[/TEX]+[TEX]x^{49}[/TEX]+...+[TEX]x^2[/TEX]+x+1 cho [TEX]x^{16}[/TEX]+[TEX]x^{15}[/TEX]+[TEX]x^{14}[/TEX]+...+[TEX]x^2[/TEX]+x+1. Anh chị nào giúp em mau nha, có dạng đó mà thi rớt hoài(em viết x mũ 51 mà số 5 ở trên số 1 ở dưới thấp, thông cảm!)

 

[maricosa]

Ta có :
[TEX]x^{51} + x^{50} +x^{49} + ( x^{48} + ..... + x^2 + x + 1 ) [/TEX]
Có phần trong ngoặc luôn chia hết cho[TEX] x^{16} + x^{15} + .... + x^2 + x + 1 [/TEX]
Xét
[TEX]x^{51} + x^{50} + x^{49}[/TEX]
= [TEX]x^{49}.(x^2 + x + 1)[/TEX]
Ta có :
Có
[TEX]x^{49}[/TEX]
= [TEX]x^{49} + x^{48} + x^{47} + ... + x +1 - (x^{48} + x^{47} + ... + x^2 + x +1)[/TEX]
= [TEX]x.(x^{48} + x^{47} + .... + x + 1) - (x^{48} + x^{47} + ... + x^2 + x +1) + 1 [/TEX]

=>[TEX] x^{49} [/TEX] chia cho [TEX] x^{16} + x^{15} + .... + x^2 + x + 1 [/TEX] dư 1
=> [TEX]x^{49}.(x^2 + x + 1)[/TEX] chia [TEX]x^{16} + x^{15} + .... + x^2 + x + 1 [/TEX]dư [TEX]x^2 + x + 1[/TEX]


[TEX]x^{51} + x^{50} +x^{49} + ( x^{48} + ..... + x^2 + x + 1 )[/TEX] chia [TEX]x^{16} + x^{15} + .... + x^2 + x + 1 [/TEX]dư[TEX] x^2 + x+ 1[/TEX]

 

[maricosa]

Hoặc cũng co' thể ghep' cặp như sau:
[TEX]x^{51}+x^{50}+x^{49}+...+x+1=(x^{51}+x^{50}+...+x^{35})+(x^{34}+ x^{33}+...+x^{18})+(x^{17}+x^{16}+...+x)+1[/TEX]
Sau đo' bỏ thừa sô' chung za ngoài........

 

[viokha]

>-ta có thể giải như sau:
{x}^{51}+{x}^{52}+...+{x}^{2}+x+1={x}^{35}({X}^{16}+{x}^{15}+...+1)+{x}^{18}({x}^{16}+{x}^{15}+...+1)+x({x}^{16}+{x}^{15}+1)+1=({x}^{16}+{x}^{15}+1)({x}^{35}+{x}^{18}+x)+1\Rightarrowta có số dư là 1

~~Chú ý latex nhé bạn

 

[minhhoang_vip]

Có thể giải đơn giản hơn như sau:
Ta có [TEX]1 = x^0[/TEX]
Xét số bị chia, từ [TEX]x^{51}[/TEX] đến [TEX]x^0[/TEX] (tức là 1) có 51 - 0 + 1 = 52 (phần tử)
Xét số chia, từ [TEX]x^{16}[/TEX] đến [TEX]x^0[/TEX] (tức là 1) có 16 - 0 + 1 = 17 (phần tử)
Tính 52 : 17, ta được [TEX]52 : 17 = 3 \frac{1}{17}[/TEX]
Lấy tử hỗn số đó làm dư.
Vậy số dư của phép chia [TEX](x^{51}+x^{50}+...+x^2+x+1) : (x^{16} + x^{15} + ... + x^2 + x + 1)[/TEX] là 1.

 

[tottochan777]

Ta có :
[TEX]x^{51} + x^{50} +x^{49} + ( x^{48} + ..... + x^2 + x + 1 ) [/TEX]
Có phần trong ngoặc luôn chia hết cho[TEX] x^{16} + x^{15} + .... + x^2 + x + 1 [/TEX]
Xét
[TEX]x^{51} + x^{50} + x^{49}[/TEX]
= [TEX]x^{49}.(x^2 + x + 1)[/TEX]
Ta có :
Có
[TEX]x^{49}[/TEX]
= [TEX]x^{49} + x^{48} + x^{47} + ... + x +1 - (x^{48} + x^{47} + ... + x^2 + x +1)[/TEX]
= [TEX]x.(x^{48} + x^{47} + .... + x + 1) - (x^{48} + x^{47} + ... + x^2 + x +1) + 1 [/TEX]

=>[TEX] x^{49} [/TEX] chia cho [TEX] x^{16} + x^{15} + .... + x^2 + x + 1 [/TEX] dư 1
=> [TEX]x^{49}.(x^2 + x + 1)[/TEX] chia [TEX]x^{16} + x^{15} + .... + x^2 + x + 1 [/TEX]dư [TEX]x^2 + x + 1[/TEX]


[TEX]x^{51} + x^{50} +x^{49} + ( x^{48} + ..... + x^2 + x + 1 )[/TEX] chia [TEX]x^{16} + x^{15} + .... + x^2 + x + 1 [/TEX]dư[TEX] x^2 + x+ 1[/TEX]

làm như thế này là sai rùi bạn à!
phải nhóm các số hạng [tex](x^{51}+x^{50}+....+x}+1[/tex]
mà [tex] x^{51}+x^{50}+...+x[/tex]
=[tex] x(x^{50}+x^{49}+...+1)[/tex]
=[tex] x(x^{35}+{x^17}+1)(x^{16}+...+1)[/tex] chia hết [tex] x^{16}+x^{15}+...+1[/tex]
=> [tex] x^{51}+...+1[/tex] chia [tex] x^{16}+x^{15}+...+1[/tex] dư 1

 

[huedao97]

tuj nghĩ là dư 0 nhưng cũng không bít giải thích vì tuj gặp roa`j,đoán là 0