1 bài toán khó

Status
Không mở trả lời sau này.
C

congchuaanhsang

Gọi A là vế trái của BĐT
Áp dụng BĐT Bunhia dạng phân thức ta có:
$\frac{a^4}{b+3c}$+$\frac{b^4}{c+3a}$+$\frac{c^4}{a+3b}$\geq$\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a+b+c+3a+3b+3c}$
\LeftrightarrowA\geq$\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{4(a+b+c)}$
Áp dụng BĐT Bunhia cho 3 bộ số (1;a);(1;b) và (1;c) ta có:
$(a+b+c)^2$=$(1.a+1.b+1.c)^2$\leq($1^2$+$1^2$+$1^2$)($a^2$+$b^2$+$c^2$)
\Leftrightarrow$(a+b+c)^2$\leq3($a^2$+$b^2$+$c^2$)
Vì 2 vế đều dương nên ta có: a+b+c\leq$\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$
Do đó A\geq$\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{4(a+b+c)}$ \geq $\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{4\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}$
\LeftrightarrowA\geq$\frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}.(a^2+b^2+c^2)}{4\sqrt{3}}$
Mặt khác $a^2$+$b^2$+$c^2$\geqab+bc+ca\geq3
\Rightarrow A \geq $\frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}$ = $\frac{3}{4}$
Vậy A\geq$\frac{3}{4}$
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow a=b=c=1
P.s: Đây là câu cuối đề thi vào lớp 10 môn Toán năm nay đúng ko bạn? Chị mình cũng thi nên mình biết! :p
 
Last edited by a moderator:
Status
Không mở trả lời sau này.
Top Bottom