1 bài toán hay

[hoanglongvtpro]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

CMR: $n^4+4^n$ là 1 hợp số \forall n $\in$ $\mathbb{N^*}$

 

[nhungnguoithaniu]

CMR: $n^4+4^n$ là 1 số nguyên tố \forall n $\in$ $\mathbb{N^*}$

Mệnh đề này sai hoàn toàn.
Với n = 6 thì:
[tex]6^4+4^6=5392[/tex] chia hết cho 2 (bằng 2696).

 

[soicon_boy_9x]

Bạn viết lại đề được không

Thử $n=2;3;...$ thấy đề sai luôn

 

[quangltm]

Bạn viết lại đề được không

Thử $n=2;3;...$ thấy đề sai luôn

Theo mình đề là $n^4 + 4^n$ không là số nguyên tố
Xét trường hợp $n$ chẵn $\implies \ldots$
$n$ lẻ, đặt $n=2k+1$. Và phân tích thành nhân tử

 

[soicon_boy_9x]

Xét $n$ chẵn dễ thấy là hợp số

Xét $n$ lẻ đặt $n=2k+1( k \in N)$

$\rightarrow (2k+1)^4+2^{4k+2}=[(2k+1)^2+2^{2k+1}]^2-2^{2(k+1)}.
(2k+1)^2=[(2k+1)^2-2^{k+1}.(2k+1)+2^{2k+1}][(2k+1)^2+2^{k+1}.
(2k+1)+2^{2k+1}]$

Ta có

$(2k+1)^2+2^{k+1}.(2k+1)+2^{2k+1}$

$(2k+1)^2-2^{k+1}.(2k+1)+2^{2k+1}=(2k+1)^2-2^{k+1}.
(2k+1)+2^{2k}+2^{2k}=(2k+1-2^k)^2+2^{2k} \geq 1$

Xét $(2k+1)^2-2^{k+1}.(2k+1)+2^{2k+1} > 1$ thì $n^4+4n$ là hợp số

Xét $(2k+1)^2-2^{k+1}.(2k+1)+2^{2k+1}=1 \rightarrow k=0$

$\rightarrow n=1 \rightarrow n^4+4n=5$( số nguyên tố)

Vậy $n^4+4n$ là hợp số với n là số nguyên dương khác 1