1 bài bdt. mới thi khi chiều ! [26/11/09]

S

su7su

dandoh221 said:
cho a,b,c > 0. chứng minh rằng
[TEX]2sqrt{ab+bc+ac} \leq sqrt{3} \sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}[/TEX]
tui đã dồn biến đấy. nên hay ko nên ????@-)@-)@-)
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Mình làm cách này ko bik có đc ko.
Trước tiên, ta c/m bổ đề:
Với [TEX]a,b,c>0 , a+b+c=1[/TEX], CMR [TEX](a+b)(b+c)(c+a) \geq \frac{8}{9}(ab+bc+ca)[/TEX]
Áp dụng BDT Schur, ta có:
[TEX]9(pq-r) \geq 8q \Leftrightarrow (pq-9r)+8q(p-1) \geq 0[/TEX] , đúng với[TEX]p=1[/TEX]
Trỏ lại với bài toán, BDT cần cm [TEX]\Leftrightarrow(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2 \geq \frac{64}{27}(ab+bc+ca)^3 [/TEX]
Áp dụng bổ đề,ko mất tính tổng quát, chuẩn hoá [TEX]p=1[/TEX], ta có [TEX]\frac{1}{3} \geq ab+bc+ca[/TEX] , đúng.

bạn ơi, đây là đề gì vậy, có thể post cả đề lên đc ko, mình xin cảm ơn.
 
D

dandoh221

đây là đề thì hsg huyện mình. nhác post nên ..:), . trong bài giải mình giải thế này :
Chuẩn hóa [TEX]ab+bc+ac = 3[/TEX]. sau đó ta cần CM [TEX](a+b)(b+c)(a+c) \geq 8[/TEX]
đặt [TEX]\frac{a+b}{2} = t[/TEX]. khi đó [TEX]t^2+2tc \geq 3 \Rightarrow c \geq \frac{3-t^2}{2t}[/TEX]
xét [TEX]f(a,b,c) = (a+b)(b+c)(c+a) - 8 = 2t(c^2+ab+bc+ac) - 8 \geq 2t[(\frac{3-t^2}{2t})^2 + 3) - 8[/TEX]
[TEX]=\frac{(t-1)^2(t^2+2t +9)}{2t} \geq 0[/TEX].
\Rightarrow đpcm. viết ngắn gọn lại
 
Last edited by a moderator:
V

vansang95

BDT schur :
[TEX] a^t(a-b)(b-c)(c-a)+b^t(b-c)(c-a)+c^t(c-a)(a-b)\geq0 [/TEX]
Mà cho hỏi khi đi thi ai cho dùng schur;p-q-r hay dồn biến nhỉ
 
V

vansang95

BDT schur :
[TEX] a^t(a-b)(b-c)(c-a)+b^t(b-c)(c-a)+c^t(c-a)(a-b)\geq0 [/TEX]
Mà cho hỏi khi đi thi ai cho dùng schur;p-q-r hay dồn biến nhỉ Khi(123)
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom