Mọi người giải hộ bài này nha!
Cho các số thực dương [TEX]a, b, c[/TEX] thỏa mãn [TEX]a+b+c=3[/TEX]. CMR:
[TEX]a^4+b^4+c^4+2abc[/TEX]\geq[TEX]ab+bc+ca+2[/TEX]
Với a+b+c=3 ta có
[TEX]\begin{array}{l} Bode1:a^4 + b^4 + c^4 \ge a^2 + b^2 + c^2 \ge a + b + c \\ Bode2:abc \ge \left( {a + b - c} \right)\left( {a - b + c} \right)\left( {b + c - a} \right) \\ \Rightarrow abc \ge \left( {3 - 2a} \right)\left( {3 - 2b} \right)\left( {3 - 2c} \right) = 27 + 12\left( {ab + bc + ca} \right) - 18\left( {a + b + c} \right) - 8abc \\\Rightarrow 9abc \ge 27 + 12\left( {ab + bc + ca} \right) - 54 = 12\left( {ab + bc + ca} \right) - 27 \\ 1.TaCM:a^4 + b^4 + c^4 + \frac{{8\left( {ab + bc + ca} \right) - 18}}{3} \ge ab + bc + ca + 2 \\ \Leftrightarrow 3\left( {a^4 + b^4 + c^4 } \right) + 5\left( {ab + bc + ca} \right) - 24 \ge 0 \\ VT \ge 3\left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right) + 5\left( {ab + bc + ca} \right) - 24 = \frac{5}{2}\left( {a + b + c} \right)^2 - 24 + \frac{1}{2}\left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right) \ge \frac{{45}}{2} + \frac{3}{2} - 24 = 0 \\ \end{array}[/TEX]
Cách 2: trong 3 số a,b,c sẽ có 2 số nằm cùng bên với 1, giả sử 2 số đó là a và b nên ta có
[TEX]\begin{array}{l} c\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow abc \ge ac + bc - c \\ = > VT \ge a^2 + b^2 + c^2 + 2\left( {ac + bc - c} \right) \\ = > T{\rm{as}}eCM:a^2 + b^2 + c^2 + 2\left( {ac + bc - c} \right) \ge ab + bc + ca + 2 \\ \Leftrightarrow a^2 + b^2 + c^2 + ac + bc - ab - 2 - 2c \ge 0 \\ \Leftrightarrow a^2 + b^2 + c^2 + c\left( {3 - c} \right) - ab - 2 - 2c \ge 0 \\ \Leftrightarrow a^2 + b^2 + c - ab - 2 \ge 0 \\ Co:a^2 + b^2 + c - ab - 2 \ge \left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2 + c - 2 = \left( {\frac{{3 - c}}{2}} \right)^2 + c - 2 = \left( {\frac{{c - 1}}{2}} \right)^2 \ge 0 \\ = > dpcm \\ \end{array}[/TEX]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn