1 bai bat dang thuc lớp 8

[muamuaha125]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số dương x, y,z thỏa mãn: [tex] x^3 + y^3 + z^3 = \frac{3}{2\sqrt{2}} [/tex]
Tìm GTNN: P= [tex]\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}} + \frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}[/tex]

 

[lanhnevergivesup]

Do [TEX]x^3+y^3+z^3=\frac{3}{\sqrt{2}}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 0<x,y,z\leq1[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 1-x^2 \geq0 [/TEX] Nên áp dụng BĐT côsi với hai số không âm ta có
[TEX] x^2+1-x^2\geq2\sqrt{x^2.(1-x^2)}[/TEX]
[TEX] \Rightarrow \frac{x^2+1-x^2}{2}\geq x.\sqrt{1-x^2}(do x>0)[/TEX]
Do đó [TEX]\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}= {\frac{x^3}{x.\sqrt{1-x^2}} \geq {\frac{x^3}{\frac{x^2+1-x^2}{2}} } \geq 2x^3[/TEX]
Chứng minh tương tự :
[TEX]\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}} \geq2y^3 ; \frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}} \geq 2z^3[/TEX]
Vậy [TEX]\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+ \frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}} \geq 2 (x^3+y^3+z^3)= 2.\frac{3}{2\sqrt{2}}[/TEX]
Vậy min [TEX]\frac{3}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow x^2=1-x^2 ; y^2=1-y^2 ;z^2=1-z^2[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow x=y=z=\sqrt{0.5}[/TEX]