Tìm GTNN của A với y<=2:
A = 2can(1 + y^2) + 2 - y
các bạn sử dụng bất đẳng thức hay biens đổi đều được mà đừng dùng kiến thức đạo hàm
Ta có biểu thức:
[math]A = 2\sqrt{y^2 + 1} - y + 2[/math]Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho hai bộ số [imath](y, 1)[/imath] và [imath](1, \sqrt{3})[/imath], ta có:
[math](y^2 + 1^2)\left[1^2 + (\sqrt{3})^2\right] \ge (y \cdot 1 + 1 \cdot \sqrt{3})^2[/math][math]\Leftrightarrow (y^2 + 1)(1 + 3) \ge (y + \sqrt{3})^2[/math][math]\Leftrightarrow 4(y^2 + 1) \ge (y + \sqrt{3})^2[/math]Lấy căn bậc hai hai vế của bất phương trình trên, ta được:
[math]2\sqrt{y^2 + 1} \ge |y + \sqrt{3}|[/math]Theo tính chất cơ bản của giá trị tuyệt đối, một số luôn lớn hơn hoặc bằng chính nó ([imath]|X| \ge X[/imath] với mọi [imath]X[/imath]). Do đó:
[math]|y + \sqrt{3}| \ge y + \sqrt{3}[/math]Bắc cầu hai bất đẳng thức lại, ta có:
[math]2\sqrt{y^2 + 1} \ge y + \sqrt{3}[/math][math]\Leftrightarrow 2\sqrt{y^2 + 1} - y \ge \sqrt{3}[/math][math]\Leftrightarrow 2\sqrt{y^2 + 1} - y + 2 \ge \sqrt{3} + 2[/math][math]\Leftrightarrow A \ge 2 + \sqrt{3}[/math]Dấu "[imath]=[/imath]" xảy ra khi và chỉ khi:
[math]\frac{y}{1} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow y = \frac{1}{\sqrt{3}}[/math]Ta đối chiếu với điều kiện của đề bài là [imath]y \le 2[/imath]. Rõ ràng [imath]y = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577[/imath] hoàn toàn thỏa mãn điều kiện này.
Vậy Giá trị nhỏ nhất (GTNN) của [imath]A[/imath] là
[imath]2 + \sqrt{3}[/imath], khi [imath]y = \frac{1}{\sqrt{3}}[/imath].
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
