Toán 10 Xét tính chẵn lẻ hàm số

MinhChauahh said:

[tex]\frac{(x^{4}-x^{2}).\sqrt{x^{2}-1}}{\sqrt{x+1}.(\left | x^{2}-1 \right |+\left | x-1 \right |}[/tex]

giúp em ạ

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Cho hàm số:
[math]f(x) = \frac{(x^4 - x^2)\sqrt{x^2 - 1}}{\sqrt{x + 1}(|x^2 - 1| + |x - 1|)}[/math]Hàm số xác định khi và chỉ khi thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

1. Biểu thức trong căn ở tử số không âm:
   [math]x^2 - 1 \ge 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x \ge 1 \\ x \le -1 \end{array}\right.[/math]
2. Biểu thức trong căn ở mẫu số lớn hơn [imath]0[/imath] (vì nằm dưới mẫu):
   [math]x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > -1[/math]
3. Cụm chứa trị tuyệt đối dưới mẫu phải khác [imath]0[/imath]:
   Tổng của hai trị tuyệt đối luôn lớn hơn hoặc bằng [imath]0[/imath]. Nó chỉ bằng [imath]0[/imath] khi đồng thời cả hai biểu thức bên trong bằng [imath]0[/imath]:
   [math]\begin{cases} x^2 - 1 = 0 \\ x - 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow x = 1[/math]Do đó, để cụm này khác [imath]0[/imath], ta cần: [imath]x \neq 1[/imath].

Gộp tất cả các điều kiện lại:

• Giao của [imath](1)[/imath] và [imath](2)[/imath]: Ta lấy phần [imath]x > -1[/imath] giao với [imath]\left[x \ge 1 \text{ hoặc } x \le -1\right][/imath], kết quả thu được là [imath]x \ge 1[/imath].
• Kết hợp thêm điều kiện [imath](3)[/imath] là [imath]x \neq 1[/imath].
• Suy ra điều kiện cuối cùng là: [imath]x > 1[/imath].

Vậy, tập xác định của hàm số là: [imath]D = (1; +\infty)[/imath].

Theo định nghĩa, một hàm số chỉ có thể là hàm số chẵn hoặc hàm số lẻ nếu tập xác định [imath]D[/imath] của nó là một tập đối xứng. Nghĩa là, với mọi [imath]x \in D[/imath] thì bắt buộc [imath]-x[/imath] cũng phải thuộc [imath]D[/imath].
Tuy nhiên, với [imath]D = (1; +\infty)[/imath]:
Ta chọn thử một giá trị [imath]x = 2 \in D[/imath].
Khi đó, số đối của nó là [imath]-x = -2[/imath]. Rõ ràng [imath]-2[/imath] không hề lớn hơn [imath]1[/imath], nên [imath]-2 \notin D[/imath].

Kết luận​

Vì tập xác định [imath]D[/imath] không có tính đối xứng qua điểm [imath]0[/imath], ta kết luận ngay lập tức:
Hàm số đã cho là hàm số không chẵn, không lẻ. (Và ta hoàn toàn không cần phải tính toán hay biến đổi biểu thức [imath]f(-x)[/imath] nữa).