Hàm số bậc 2 toán 10

quaqloren@gmail.com said:

Tìm quỹ tích điểm của hàm số sau y=x2-mx+1

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Mình không biết đề của bạn là tìm quỹ tích của điểm nào của hàm số. Thường đề sẽ là điểm đỉnh của parabol, nếu đề là như vậy thì lời giải của mình là:

Xét họ parabol [imath](P_m): y = x^2 - mx + 1[/imath].
Hệ số của hàm số là: [imath]a = 1[/imath], [imath]b = -m[/imath], [imath]c = 1[/imath].
Hoành độ đỉnh [imath]I[/imath] được tính bằng công thức [imath]x_I = -\frac{b}{2a}[/imath]:
[math]x_I = -\frac{-m}{2 \cdot 1} = \frac{m}{2}[/math]Tung độ đỉnh [imath]y_I[/imath] được tính bằng cách thay [imath]x_I[/imath] vào phương trình hàm số:
[math]y_I = \left(\frac{m}{2}\right)^2 - m\left(\frac{m}{2}\right) + 1[/math][math]y_I = \frac{m^2}{4} - \frac{m^2}{2} + 1[/math][math]y_I = -\frac{m^2}{4} + 1[/math]Vậy tọa độ đỉnh của họ parabol là [imath]I\left(\frac{m}{2}; 1 - \frac{m^2}{4}\right)[/imath].
Từ hoành độ đỉnh [imath]x_I = \frac{m}{2}[/imath], ta rút [imath]m[/imath] ra:
[math]m = 2x_I[/math]Bây giờ, đem [imath]m[/imath] vừa rút thế vào biểu thức tung độ [imath]y_I[/imath]:
[math]y_I = -\frac{(2x_I)^2}{4} + 1[/math][math]\Leftrightarrow y_I = -\frac{4x_I^2}{4} + 1[/math][math]\Leftrightarrow y_I = -x_I^2 + 1[/math]Như vậy, bất kể tham số [imath]m[/imath] thay đổi như thế nào, tọa độ đỉnh [imath]I(x_I; y_I)[/imath] luôn luôn thỏa mãn phương trình [imath]y = -x^2 + 1[/imath].
Vì [imath]m[/imath] có thể nhận mọi giá trị trên tập số thực [imath]\mathbb{R}[/imath], nên [imath]x_I = \frac{m}{2}[/imath] cũng có thể nhận mọi giá trị trên [imath]\mathbb{R}[/imath].
Kết luận: Quỹ tích đỉnh của họ parabol [imath]y = x^2 - mx + 1[/imath] là một đường parabol cố định có phương trình:
[math]y = -x^2 + 1[/math]
Nếu đề của bạn là một điểm bất kì nào đó thuộc parabol thì khi tham số [imath]m[/imath] thay đổi, parabol uốn éo và trượt đi, điểm đó cũng sẽ chạy loạn xạ và quét qua toàn bộ mặt phẳng, chứ không để lại một quỹ tích cụ thể nào cả. Như vậy, cách giải và đáp án cũng sẽ khác; cách giải mình như sau:

Giả sử điểm [imath]M(x; y)[/imath] là một điểm bất kì nằm trên mặt phẳng tọa độ.
Để điểm [imath]M[/imath] thuộc quỹ tích quét qua của họ parabol [imath](P_m): y = x^2 - mx + 1[/imath], thì bắt buộc phải tồn tại ít nhất một giá trị thực [imath]m[/imath] sao cho tọa độ của [imath]M[/imath] thỏa mãn phương trình đồ thị.
Ta viết lại phương trình parabol dưới dạng một phương trình bậc nhất với ẩn là [imath]m[/imath]:
[math]x \cdot m + (y - x^2 - 1) = 0 \quad (*)[/math]Vì [imath](*)[/imath] là phương trình dạng [imath]A \cdot m + B = 0[/imath] (với [imath]A = x[/imath] và [imath]B = y - x^2 - 1[/imath]), ta xét [imath]2[/imath] trường hợp của hệ số [imath]A[/imath]:

• Trường hợp 1: [imath]x = 0[/imath]
  Phương trình [imath](*)[/imath] trở thành:
  [math]0 \cdot m + (y - 0^2 - 1) = 0[/math][math]\Leftrightarrow y - 1 = 0 \Leftrightarrow y = 1[/math]Nghĩa là khi hoành độ [imath]x = 0[/imath] (tức là điểm [imath]M[/imath] nằm trên trục tung), phương trình chỉ có nghiệm [imath]m[/imath] (thực chất là đúng với mọi [imath]m[/imath]) khi và chỉ khi tung độ [imath]y = 1[/imath]. Nói cách khác, trên toàn bộ trục tung, họ parabol này chỉ đi qua duy nhất một điểm là [imath](0; 1)[/imath].
• Trường hợp 2: [imath]x \neq 0[/imath]
  Lúc này hệ số [imath]A \neq 0[/imath], phương trình [imath](*)[/imath] luôn luôn có một nghiệm [imath]m[/imath] duy nhất:
  [math]m = \frac{x^2 - y + 1}{x}[/math]Nghĩa là do [imath]x, y[/imath] là các số thực và [imath]x \neq 0[/imath], phân thức này luôn xác định và tính ra được một con số [imath]m[/imath] cụ thể. Điều này có nghĩa là với bất kì điểm [imath]M(x; y)[/imath] nào không nằm trên trục tung, ta luôn tìm được một và chỉ một parabol trong họ [imath](P_m)[/imath] đi qua nó.

Tổng hợp lại từ hai trường hợp trên, miền mặt phẳng mà họ parabol [imath]y = x^2 - mx + 1[/imath] quét qua bao gồm:

1. Toàn bộ các điểm không nằm trên trục tung (tất cả các điểm có hoành độ [imath]x \neq 0[/imath]).
2. Điểm [imath](0; 1)[/imath] nằm trên trục tung.

Vậy: Quỹ tích mọi điểm mà họ đồ thị này đi qua là điểm [imath](0; 1)[/imath] và toàn bộ mặt phẳng tọa độ [imath]\mathbb{R}^2[/imath], ngoại trừ trục tung [imath]x = 0[/imath].