toán 11

haulunyy said:

sin^8 + cos^8 - 2*(sin^10 + cos^10) = [tex]\frac{7}{3}[/tex] * cos 2x

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Không biết đây có phải là đề chính xác mà bạn đưa ra hay không?
[math]\sin^8x + \cos^8x - 2(\sin^{10}x + \cos^{10}x) = \frac{7}{3}\cos 2x[/math]Nếu đúng thì đây là lời giải của mình[imath]:[/imath]

Ta có phương trình:
[math]\sin^8x + \cos^8x - 2(\sin^{10}x + \cos^{10}x) = \frac{7}{3}\cos 2x[/math]Phân tích vế trái (VT), ta nhóm các hạng tử chứa [imath]\sin[/imath] và [imath]\cos[/imath] lại với nhau:
[math]VT = \sin^8x - 2\sin^{10}x + \cos^8x - 2\cos^{10}x[/math][math]\Leftrightarrow VT = \sin^8x(1 - 2\sin^2x) + \cos^8x(1 - 2\cos^2x)[/math]Ta có công thức sau:

• [imath]\cos 2x = 1 - 2\sin^2x[/imath]
• [imath]\cos 2x = 2\cos^2x - 1 \Rightarrow 1 - 2\cos^2x = -\cos 2x[/imath]

Thay các công thức này vào VT, ta được:
[math]VT = \sin^8x \cdot (\cos 2x) + \cos^8x \cdot (-\cos 2x)[/math][math]\Leftrightarrow VT = \cos 2x(\sin^8x - \cos^8x)[/math]Thay VT vừa rút gọn vào phương trình ban đầu, ta có:
[math]\cos 2x(\sin^8x - \cos^8x) = \frac{7}{3}\cos 2x[/math][math]\Leftrightarrow \cos 2x \left( \sin^8x - \cos^8x - \frac{7}{3} \right) = 0[/math]Đến đây, phương trình chia làm [imath]2[/imath] trường hợp:

• Trường hợp 1:
  [math]\cos 2x = 0[/math][math]\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})[/math][math]\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z})[/math]
• Trường hợp 2:
  [math]\sin^8x - \cos^8x - \frac{7}{3} = 0 \Leftrightarrow \sin^8x - \cos^8x = \frac{7}{3}[/math]Ta có thể đánh giá nhanh để loại trường hợp này. Vì với mọi [imath]x[/imath], ta luôn có:
  [math]0 \le \sin^8x \le 1[/math][math]0 \le \cos^8x \le 1[/math]Do đó, giá trị của biểu thức [imath]\sin^8x - \cos^8x[/imath] chỉ có thể nằm trong khoảng [imath][-1,1][/imath]. Tức là:
  [math]-1 \le \sin^8x - \cos^8x \le 1[/math]Mà [imath]\frac{7}{3} \approx 2.33 > 1[/imath], nên phương trình [imath]\sin^8x - \cos^8x = \frac{7}{3}[/imath] vô nghiệm.

Kết luận​

Họ nghiệm duy nhất của phương trình đã cho là:
[math]x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z})[/math]