Toán 10 Biến thiên hàm số

ChickenGolden
Bài [imath]1[/imath]:

Hàm số đã cho là một hàm số bậc hai có dạng [imath]y = ax^2 + bx + c[/imath] với hệ số [imath]a = 1 > 0[/imath].
Do [imath]a > 0[/imath], đồ thị hàm số là một parabol có bề lõm hướng lên trên.
Ta tính hoành độ đỉnh của parabol (chính là ranh giới giữa hai khoảng đơn điệu):
[math]x_I = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2(m+1)}{2 \cdot 1} = m + 1[/math]Theo tính chất của hàm số bậc hai với [imath]a > 0[/imath], hàm số sẽ:

• Nghịch biến trên khoảng [imath](-\infty; m+1)[/imath]
• Đồng biến trên khoảng [imath](m+1; +\infty)[/imath]

Đề bài yêu cầu hàm số phải đồng biến trên khoảng [imath](4; 2018)[/imath].
Để điều này xảy ra, khoảng [imath](4; 2018)[/imath] phải nằm hoàn toàn bên trong (là tập con) của khoảng đồng biến [imath](m+1; +\infty)[/imath].
Tức là:
[math](4; 2018) \subset (m+1; +\infty)[/math]Điều kiện để bao hàm thức này đúng là cận dưới của khoảng [imath](m+1; +\infty)[/imath] phải nhỏ hơn hoặc bằng cận dưới của khoảng [imath](4; 2018)[/imath]:
[math]m + 1 \le 4[/math][math]\Leftrightarrow m \le 3[/math]Đề bài yêu cầu tìm các giá trị nguyên dương của [imath]m[/imath] (nghĩa là [imath]m[/imath] là số nguyên và [imath]m \ge 1[/imath]).
Kết hợp hai điều kiện [imath]m \le 3[/imath] và [imath]m \ge 1[/imath] ([imath]m \in \mathbb{Z}[/imath]), ta có các giá trị thỏa mãn là:
[math]m \in \{1; 2; 3\}[/math]Kết luận:
Có tất cả [imath]3[/imath] giá trị nguyên dương của tham số [imath]m[/imath] để hàm số đồng biến trên khoảng [imath](4; 2018)[/imath].
Vậy ta chọn đáp án [imath]D[/imath].

ChickenGolden
Bài [imath]2[/imath] [imath]:[/imath]

Hàm số đã cho là một hàm số bậc hai (có dạng [imath]y = ax^2 + bx + c[/imath]) với hệ số [imath]a = -1 < 0[/imath]. Do đó, đồ thị của nó là một parabol có bề lõm hướng xuống dưới.
Ta tìm hoành độ đỉnh của parabol:
[math]x_I = -\frac{b}{2a} = -\frac{2(m-1)}{2 \cdot (-1)} = m - 1[/math]Theo tính chất của hàm số bậc hai với [imath]a < 0[/imath], hàm số sẽ:

• Đồng biến trên khoảng [imath](-\infty; m-1)[/imath]
• Nghịch biến trên khoảng [imath](m-1; +\infty)[/imath]

Để hàm số nghịch biến trên khoảng [imath](1; +\infty)[/imath], thì khoảng [imath](1; +\infty)[/imath] phải là tập con của khoảng nghịch biến [imath](m-1; +\infty)[/imath].
Tức là:
[math](1; +\infty) \subset (m-1; +\infty)[/math]Điều này xảy ra khi và chỉ khi ranh giới dưới của khoảng nghịch biến phải nhỏ hơn hoặc bằng [imath]1[/imath]:
[math]m - 1 \le 1[/math][math]\Leftrightarrow m \le 2[/math]
Kết luận:
Giá trị của tham số [imath]m[/imath] thỏa mãn yêu cầu bài toán là [imath]m \le 2[/imath].
Vậy ta chọn đáp án là [imath]C[/imath].