Tình hình là e đang bí bài này, mong được các anh chị, các bạn giúp ^^
Tìm m để hàm số [TEX]y=(m+1)x^2+2(m^2-3m-16)x+3[/TEX] (m là tham số thực) nghich biến trên khoảng (1;+\infty)
Xét hệ số [imath]a = m + 1[/imath] của hàm số [imath]y = (m+1)x^2 + 2(m^2-3m-16)x + 3[/imath]:
Trường hợp [imath]1[/imath]: Hệ số [imath]a = 0[/imath]
Ta có [imath]m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = -1[/imath].
Thay [imath]m = -1[/imath] vào hàm số ban đầu, ta được:
[math]y = 0 \cdot x^2 + 2((-1)^2 - 3(-1) - 16)x + 3[/math][math]\Leftrightarrow y = 2(1 + 3 - 16)x + 3[/math][math]\Leftrightarrow y = -24x + 3[/math]Đây là hàm số bậc nhất có hệ số góc [imath]k = -24 < 0[/imath]. Do đó, hàm số này nghịch biến trên toàn trục số thực [imath]\mathbb{R}[/imath].
Hiển nhiên, nó cũng sẽ nghịch biến trên khoảng [imath](1; +\infty)[/imath].
Vậy
[imath]m = -1[/imath] thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trường hợp [imath]2[/imath]: Hệ số [imath]a > 0[/imath]
Ta có [imath]m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > -1[/imath].
Lúc này, đồ thị hàm số là một parabol có bề lõm hướng lên trên.
Hàm số bậc hai với [imath]a > 0[/imath] sẽ nghịch biến trên khoảng [imath]\left(-\infty; -\frac{b}{2a}\right)[/imath] và đồng biến trên khoảng [imath]\left(-\frac{b}{2a}; +\infty\right)[/imath].
Vì hàm số đồng biến khi [imath]x[/imath] tiến về [imath]+\infty[/imath], nên nó
không thể nghịch biến trên khoảng [imath](1; +\infty)[/imath].
Vậy trường hợp này
không có [imath]m[/imath] thỏa mãn.
Trường hợp [imath]3[/imath]: Hệ số [imath]a < 0[/imath]
Ta có [imath]m + 1 < 0 \Leftrightarrow m < -1[/imath].
Đồ thị hàm số là một parabol có bề lõm hướng xuống dưới.
Hàm số sẽ đồng biến trên khoảng [imath]\left(-\infty; -\frac{b}{2a}\right)[/imath] và
nghịch biến trên khoảng [imath]\left(-\frac{b}{2a}; +\infty\right)[/imath].
Để hàm số nghịch biến trên khoảng [imath](1; +\infty)[/imath], thì khoảng [imath](1; +\infty)[/imath] phải là tập con của khoảng nghịch biến [imath]\left(-\frac{b}{2a}; +\infty\right)[/imath].
Điều này xảy ra khi và chỉ khi:
[math]-\frac{b}{2a} \le 1[/math]Thay [imath]a[/imath] và [imath]b[/imath] vào, ta có:
[math]-\frac{2(m^2 - 3m - 16)}{2(m + 1)} \le 1[/math][math]\Leftrightarrow \frac{-m^2 + 3m + 16}{m + 1} \le 1[/math]Chuyển vế và quy đồng:
[math]\frac{-m^2 + 3m + 16 - (m + 1)}{m + 1} \le 0[/math][math]\Leftrightarrow \frac{-m^2 + 2m + 15}{m + 1} \le 0[/math]Vì chúng ta đang xét trong trường hợp [imath]m < -1[/imath] nên mẫu số [imath]m + 1 < 0[/imath].
Để phân thức [imath]\le 0[/imath] mà mẫu âm, thì tử số phải lớn hơn hoặc bằng [imath]0[/imath]:
[math]-m^2 + 2m + 15 \ge 0[/math][math]\Leftrightarrow m^2 - 2m - 15 \le 0[/math][math]\Leftrightarrow (m+3)(m-5) \le 0[/math][math]\Leftrightarrow -3 \le m \le 5[/math]Kết hợp với điều kiện của trường hợp [imath]3[/imath] là [imath]m < -1[/imath], ta được:
[math]-3 \le m < -1[/math]Kết luận
Gộp kết quả từ Trường hợp [imath]1[/imath] ([imath]m = -1[/imath]) và Trường hợp [imath]3[/imath] ([imath]-3 \le m < -1[/imath]), ta tìm được tất cả các giá trị của tham số [imath]m[/imath] để hàm số nghịch biến trên khoảng [imath](1; +\infty)[/imath] là:
[math]m \in [-3; -1][/math]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
