[Toán 10] Toán bậc 2

khachai12 said:

tìm a,b,c tự nhiên để nghiệm của các pt sau là số tự nhiên
$x^2-2ax+b=0$, $x^2-2bx+c=0$, $x^2-2cx+a=0$

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Xét phương trình đầu tiên: [imath]x^2 - 2ax + b = 0[/imath]. Giả sử phương trình này có hai nghiệm tự nhiên là [imath]x_1, x_2[/imath].
Theo định lý Viète, ta có:

• [imath]x_1 + x_2 = 2a[/imath]
• [imath]x_1 x_2 = b[/imath]

Lập luận và giả sử hoàn toàn tương tự cho phương trình thứ hai và thứ ba, ta cũng sẽ có các tổng và tích tương ứng:

• Nghiệm của phương trình thứ hai là ([imath]y_1, y_2[/imath]): [imath]y_1 + y_2 = 2b[/imath] và [imath]y_1 y_2 = c[/imath]
• Nghiệm của phương trình thứ ba là ([imath]z_1, z_2[/imath]): [imath]z_1 + z_2 = 2c[/imath] và [imath]z_1 z_2 = a[/imath]

Trường hợp một: Có ít nhất một trong ba số [imath]a,b,c[/imath] bằng [imath]0[/imath]​

Giả sử [imath]b = 0[/imath].
Khi đó, phương trình thứ hai trở thành: [imath]x^2 - 0x + c = 0 \Rightarrow x^2 + c = 0[/imath].
Vì nghiệm [imath]x[/imath] là số tự nhiên nên [imath]x^2 \ge 0[/imath], kéo theo [imath]c \le 0[/imath]. Mà [imath]c[/imath] là số tự nhiên nên bắt buộc [imath]c = 0[/imath].
Tiếp tục, nếu [imath]c = 0[/imath], phương trình thứ ba trở thành [imath]x^2 + a = 0[/imath]. Lập luận tương tự, ta suy ra [imath]a = 0[/imath].
Thử lại bộ số [imath](a, b, c) = (0, 0, 0)[/imath]:
Cả ba phương trình đều có dạng [imath]x^2 = 0 \Rightarrow x = 0[/imath] [imath]([/imath]Số [imath]0[/imath] là số tự nhiên nên thỏa mãn[imath])[/imath].
Vậy [imath](0, 0, 0)[/imath] là một nghiệm của bài toán.

Trường hợp hai: Cả ba số [imath]a,b,c[/imath] đều lớn hơn [imath]0[/imath]​

Khi [imath]a, b, c \in \mathbb{N}^*[/imath] [imath]([/imath]các số nguyên dương[imath])[/imath], tích các nghiệm [imath]x_1 x_2 = b > 0[/imath].
Do [imath]x_1, x_2[/imath] là các số tự nhiên nên chúng bắt buộc phải lớn hơn hoặc bằng [imath]1[/imath].
Tức là [imath]x_1 \ge 1[/imath] và [imath]x_2 \ge 1[/imath]. Từ đây ta có bất đẳng thức[imath]:[/imath]
[math](x_1 - 1)(x_2 - 1) \ge 0[/math][math]\Leftrightarrow x_1 x_2 - (x_1 + x_2) + 1 \ge 0[/math]Thay hệ thức Viète ([imath]x_1 x_2 = b[/imath] và [imath]x_1 + x_2 = 2a[/imath]) vào, ta được:
[math]b - 2a + 1 \ge 0[/math]Hoàn toàn tương tự với hai phương trình còn lại, do [imath]y_1, y_2 \ge 1[/imath] và [imath]z_1, z_2 \ge 1[/imath], ta cũng thu được:
[math]c - 2b + 1 \ge 0[/math][math]a - 2c + 1 \ge 0[/math]Bây giờ, ta cộng ba bất phương trình vừa tìm được lại với nhau[imath]:[/imath]
[math](b - 2a + 1) + (c - 2b + 1) + (a - 2c + 1) \ge 0[/math][math]\Leftrightarrow a + b + c \le 3[/math]Vì ta đang xét trường hợp [imath]a, b, c[/imath] là các số tự nhiên lớn hơn 0, nên mỗi số nhỏ nhất phải bằng [imath]1[/imath]. Do đó:
[math]a + b + c \ge 3[/math]Để cả hai điều kiện trên cùng xảy ra, dấu "[imath]=[/imath]" bắt buộc phải xảy ra, tức là[imath]:[/imath]
[math]a + b + c = 3 \Rightarrow a = 1, b = 1, c = 1[/math]Thử lại bộ số [imath](a, b, c) = (1, 1, 1)[/imath][imath]:[/imath]
Cả ba phương trình đều trở thành [imath]x^2 - 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1[/imath]. [imath]([/imath]Số [imath]1[/imath] là số tự nhiên nên thỏa mãn[imath])[/imath].

Kết luận:
Có hai bộ số tự nhiên [imath](a, b, c)[/imath] thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

• [imath](a, b, c) = (0, 0, 0)[/imath]
• [imath](a, b, c) = (1, 1, 1)[/imath]