Hàm số

nguyenyen98 said:

Tìm các điểm trên mặt phẳng tọa độ sao cho qua điểm đó có 2 đường thằng vuông góc với nhau cùng tiếp xúc với (P)y = [TEX]x^2 - x + 1[/TEX]

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Gọi [imath]M(x_0, y_0)[/imath] là điểm cần tìm.
Đường thẳng [imath](d)[/imath] đi qua [imath]M[/imath] với hệ số góc [imath]k[/imath] sẽ có phương trình:
[math]y = k(x - x_0) + y_0 \Leftrightarrow y = kx - kx_0 + y_0[/math]Để [imath](d)[/imath] là tiếp tuyến của parabol [imath](P): y = x^2 - x + 1[/imath], phương trình hoành độ giao điểm của chúng phải có nghiệm kép:
[math]x^2 - x + 1 = kx - kx_0 + y_0[/math][math]\Leftrightarrow x^2 - (k + 1)x + (1 + kx_0 - y_0) = 0 \quad (*)[/math]Điều kiện để phương trình [imath](*)[/imath] có nghiệm kép là biệt thức [imath]\Delta = 0[/imath]:
[math]\Delta = (k + 1)^2 - 4(1 + kx_0 - y_0) = 0[/math][math]\Leftrightarrow k^2 + 2k + 1 - 4 - 4kx_0 + 4y_0 = 0[/math][math]\Leftrightarrow k^2 + 2(1 - 2x_0)k + (4y_0 - 3) = 0 \quad (**)[/math]Phương trình [imath](**)[/imath] là phương trình bậc hai ẩn [imath]k[/imath]. Mỗi nghiệm [imath]k[/imath] sẽ tương ứng với hệ số góc của một tiếp tuyến kẻ từ [imath]M[/imath].
Để từ [imath]M[/imath] kẻ được đúng [imath]2[/imath] tiếp tuyến vuông góc với nhau, phương trình [imath](**)[/imath] phải có hai nghiệm phân biệt [imath]k_1, k_2[/imath] thỏa mãn [imath]k_1 \cdot k_2 = -1[/imath].
Áp dụng định lý Viète cho phương trình [imath](**)[/imath], ta có tích hai nghiệm là:
[math]k_1 \cdot k_2 = 4y_0 - 3[/math][math]\Leftrightarrow 4y_0 - 3 = -1[/math][math]\Leftrightarrow 4y_0 = 2[/math][math]\Leftrightarrow y_0 = \frac{1}{2}[/math]Thay [imath]y_0 = \frac{1}{2}[/imath] vào [imath]\Delta_k[/imath] của phương trình [imath](**)[/imath] để chắc chắn phương trình luôn có [imath]2[/imath] nghiệm phân biệt:
[math]\Delta_k = [2(1 - 2x_0)]^2 - 4(4y_0 - 3) = 4(1 - 2x_0)^2 - 4(-1) = 4(1 - 2x_0)^2 + 4[/math]Vì [imath]4(1 - 2x_0)^2 \ge 0[/imath] với mọi [imath]x_0[/imath], nên [imath]\Delta_k > 0[/imath] với mọi giá trị của [imath]x_0[/imath].
Kết luận: Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn yêu cầu bài toán là tất cả các điểm nằm trên đường thẳng có phương trình:
[math]y = \frac{1}{2}[/math]