cho hàm số (G) : y= (1+m^2)x^2 - 2mx + 1 - m^2
xác định m sao cho hàm số đồng biến trên khoảng (1;dương vô cực)
Hàm số đã cho là một hàm số bậc hai có dạng [imath]y = ax^2 + bx + c[/imath], với:
- [imath]a = 1 + m^2[/imath]
- [imath]b = -2m[/imath]
- [imath]c = 1 - m^2[/imath]
Ta thấy hệ số [imath]a = 1 + m^2[/imath]. Vì [imath]m^2 \ge 0[/imath] với mọi [imath]m[/imath], nên [imath]a \ge 1 > 0[/imath] với mọi số thực [imath]m[/imath].
Do [imath]a > 0[/imath], đồ thị hàm số là một parabol có bề lõm hướng lên trên.
Đối với hàm số bậc hai có [imath]a > 0[/imath], hàm số sẽ:
- Nghịch biến trên khoảng [imath]\left(-\infty; -\frac{b}{2a}\right)[/imath]
- Đồng biến trên khoảng [imath]\left(-\frac{b}{2a}; +\infty\right)[/imath]
Ta tính hoành độ đỉnh [imath]x_I = -\frac{b}{2a}[/imath]:
[math]x_I = -\frac{-2m}{2(1+m^2)} = \frac{m}{1+m^2}[/math]Vậy, hàm số đã cho luôn đồng biến trên khoảng [imath]\left(\frac{m}{1+m^2}; +\infty\right)[/imath].
Đề bài yêu cầu hàm số phải đồng biến trên khoảng [imath](1; +\infty)[/imath].
Để điều này xảy ra, khoảng [imath](1; +\infty)[/imath] phải là tập con của khoảng đồng biến [imath]\left(\frac{m}{1+m^2}; +\infty\right)[/imath].
Điều kiện là:
[math]\frac{m}{1+m^2} \le 1[/math]Vì [imath]1 + m^2 > 0[/imath] với mọi [imath]m[/imath], ta có thể nhân cả hai vế của bất phương trình cho [imath]1 + m^2[/imath] mà không làm đổi chiều bất phương trình:
[math]m \le 1 + m^2[/math][math]\Leftrightarrow m^2 - m + 1 \ge 0[/math]Xét tam thức bậc hai [imath]f(m) = m^2 - m + 1[/imath]:
- [imath]\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 < 0[/imath]
- Hệ số [imath]a_m = 1 > 0[/imath]
Vì [imath]\Delta < 0[/imath] và [imath]a_m > 0[/imath], tam thức [imath]m^2 - m + 1 > 0[/imath] với mọi [imath]m \in \mathbb{R}[/imath].
Do đó, bất phương trình [imath]m^2 - m + 1 \ge 0[/imath] luôn đúng với mọi giá trị thực của [imath]m[/imath].
Kết luận:
Hàm số đã cho luôn đồng biến trên khoảng [imath](1; +\infty)[/imath] với mọi giá trị của [imath]m \in \mathbb{R}[/imath].
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
