Toán 12 Sơ đồ mặt phẳng của khối đa diện ạ

giangapao.

Học sinh mới
25 Tháng sáu 2024
14
4
6
21
Du học sinh
a/ Viết và chứng minh công thức tính diện tích hình thoi bằng 3 cách.

Công thức diện tích hình thoi:
S = (d1 * d2) / 2 Trong đó:

  • S là diện tích hình thoi
  • d1, d2 là độ dài hai đường chéo của hình thoi
Chứng minh:

Cách 1: Sử dụng tam giác


  1. Hình thoi có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm và vuông góc với nhau. Gọi giao điểm của hai đường chéo AC và BD là O.
  2. Hai đường chéo chia hình thoi thành 4 tam giác vuông bằng nhau: ΔAOB, ΔBOC, ΔCOD, ΔDOA.
  3. Diện tích mỗi tam giác vuông (ví dụ ΔAOB) là: (1/2) * AO * BO = (1/2) * (d1/2) * (d2/2) = (d1 * d2) / 8.
  4. Diện tích hình thoi bằng tổng diện tích của 4 tam giác vuông: S = 4 * (d1 * d2) / 8 = (d1 * d2) / 2.
Cách 2: Sử dụng hình chữ nhật bao ngoài

  1. Vẽ hình chữ nhật bao quanh hình thoi sao cho các đỉnh của hình thoi nằm trên trung điểm các cạnh của hình chữ nhật.
  2. Chiều dài của hình chữ nhật bằng độ dài một đường chéo của hình thoi (ví dụ d1).
  3. Chiều rộng của hình chữ nhật bằng độ dài đường chéo còn lại của hình thoi (ví dụ d2).
  4. Diện tích hình chữ nhật là: d1 * d2.
  5. Hình chữ nhật được chia thành 8 tam giác vuông bằng nhau, trong đó hình thoi chiếm 4 tam giác.
  6. Vậy diện tích hình thoi bằng một nửa diện tích hình chữ nhật: S = (1/2) * (d1 * d2) = (d1 * d2) / 2.
Cách 3: Biến đổi thành hình tam giác

  1. Cắt hình thoi dọc theo một đường chéo (ví dụ AC), chia hình thoi thành hai tam giác cân bằng nhau ΔABC và ΔADC.
  2. Diện tích mỗi tam giác (ví dụ ΔABC) có thể được tính bằng công thức: (1/2) * đáy * chiều cao.
  3. Chọn đường chéo AC làm đáy (đáy = d1). Chiều cao của ΔABC (kẻ từ B xuống AC) bằng một nửa độ dài đường chéo BD (chiều cao = d2/2).
  4. Diện tích ΔABC là: (1/2) * d1 * (d2/2) = (d1 * d2) / 4.
  5. Tương tự, diện tích ΔADC cũng là (d1 * d2) / 4.
  6. Diện tích hình thoi bằng tổng diện tích hai tam giác: S = (d1 * d2) / 4 + (d1 * d2) / 4 = (d1 * d2) / 2.
b/ Viết và chứng minh công thức tính diện tích hình bình hành bằng 3 cách.

Công thức diện tích hình bình hành:
S = a * h Trong đó:

  • S là diện tích hình bình hành
  • a là độ dài một cạnh đáy
  • h là chiều cao tương ứng với cạnh đáy đó (khoảng cách vuông góc từ cạnh đáy đến cạnh đối diện)
Chứng minh:

Cách 1: Biến đổi thành hình chữ nhật


  1. Cho hình bình hành ABCD. Kẻ đường cao AH vuông góc với cạnh đáy CD.
  2. Cắt tam giác vuông ADH ra và tịnh tiến sang bên phải, ghép vào vị trí sao cho cạnh AD trùng với cạnh BC (do AD = BC và DH = CK nếu kẻ thêm CK vuông góc với AB).
  3. Hình vừa ghép được là hình chữ nhật ABKH có chiều dài bằng cạnh đáy CD (hoặc AB) của hình bình hành (chiều dài = a) và chiều rộng bằng chiều cao AH (chiều rộng = h).
  4. Diện tích hình chữ nhật ABKH là: chiều dài * chiều rộng = a * h.
  5. Vì diện tích hình bình hành ABCD bằng diện tích hình chữ nhật ABKH (chỉ thay đổi vị trí các phần), nên diện tích hình bình hành là: S = a * h.
Cách 2: Sử dụng tam giác

  1. Kẻ một đường chéo của hình bình hành (ví dụ AC), chia hình bình hành thành hai tam giác bằng nhau ΔABC và ΔCDA.
  2. Diện tích mỗi tam giác (ví dụ ΔABC) là: (1/2) * đáy * chiều cao.
  3. Chọn cạnh đáy AB (đáy = a). Chiều cao của ΔABC (kẻ từ C xuống đường thẳng AB) chính là chiều cao h của hình bình hành tương ứng với đáy AB.
  4. Diện tích ΔABC là: (1/2) * a * h.
  5. Tương tự, diện tích ΔCDA cũng là (1/2) * a * h (với cùng đáy và chiều cao).
  6. Diện tích hình bình hành bằng tổng diện tích hai tam giác: S = (1/2) * a * h + (1/2) * a * h = a * h.
Cách 3: Sử dụng tọa độ (phương pháp đại số)

  1. Đặt hình bình hành ABCD trên mặt phẳng tọa độ. Giả sử A(0, 0), B(b, 0), D(d, h). Vì ABCD là hình bình hành nên vectơ AB = vectơ DC, suy ra tọa độ điểm C là (b + d, h).
  2. Diện tích hình bình hành có thể được tính bằng giá trị tuyệt đối của tích có hướng của hai vectơ kề nhau (ví dụ vectơ AB và vectơ AD).
  3. Vectơ AB = (b - 0, 0 - 0) = (b, 0).
  4. Vectơ AD = (d - 0, h - 0) = (d, h).
  5. Tích có hướng (trong không gian 2D, ta xem như thành phần z bằng 0): (b * h - 0 * d) = bh.
  6. Diện tích hình bình hành là: S = |bh|. Trong trường hợp này, nếu chọn đáy AB = |b| và chiều cao tương ứng là |h|, ta có S = a * h. (Lưu ý: cách này cần kiến thức về tọa độ và vectơ).
c/ Viết và chứng minh công thức tính diện tích hình thang bằng 4 cách.

Công thức diện tích hình thang:
S = (1/2) * (a + b) * h Trong đó:

  • S là diện tích hình thang
  • a, b là độ dài hai đáy (đáy lớn và đáy nhỏ)
  • h là chiều cao (khoảng cách vuông góc giữa hai đáy)
Chứng minh:

Cách 1: Chia thành hai tam giác


  1. Cho hình thang ABCD có hai đáy AB = a và CD = b, chiều cao h. Kẻ một đường chéo (ví dụ AC), chia hình thang thành hai tam giác ΔABC và ΔADC.
  2. Diện tích ΔABC có đáy AB = a và chiều cao bằng chiều cao h của hình thang: S_ABC = (1/2) * a * h.
  3. Diện tích ΔADC có đáy CD = b và chiều cao cũng bằng chiều cao h của hình thang (khoảng cách từ A đến đường thẳng CD): S_ADC = (1/2) * b * h.
  4. Diện tích hình thang bằng tổng diện tích hai tam giác: S = S_ABC + S_ADC = (1/2) * a * h + (1/2) * b * h = (1/2) * (a + b) * h.
Cách 2: Biến đổi thành hình chữ nhật và tam giác

  1. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Kẻ hai đường cao AH và BK vuông góc với đáy CD.
  2. Hình thang được chia thành hình chữ nhật ABKH có chiều dài AB = a và chiều rộng AH = h, cùng hai tam giác vuông ADH và BCK.
  3. Diện tích hình chữ nhật ABKH là: S_ABKH = a * h.
  4. Tổng diện tích hai tam giác vuông ΔADH và ΔBCK bằng diện tích một hình chữ nhật có chiều cao h và chiều dài bằng trung bình cộng độ dài hai đoạn DH và KC.
  5. Ta có CD = DH + HK + KC = DH + AB + KC = b. Suy ra DH + KC = b - a.
  6. Nếu "ghép" hai tam giác vuông này lại (bằng cách tịnh tiến), ta có thể tạo thành một hình chữ nhật có chiều rộng h và chiều dài (DH + KC)/2 = (b - a)/2 (trường hợp hình thang cân thì hai tam giác bằng nhau). Diện tích phần này là ((b - a) / 2) * h.
  7. Diện tích hình thang là tổng diện tích hình chữ nhật và hai tam giác: S = a * h + ((b - a) / 2) * h = (2ah + bh - ah) / 2 = (ah + bh) / 2 = (1/2) * (a + b) * h.
Cách 3: Ghép hai hình thang bằng nhau

  1. Lấy hai hình thang bằng nhau.
  2. Ghép chúng lại với nhau sao cho cạnh đáy lớn của hình thang này trùng với cạnh đáy nhỏ của hình thang kia (và ngược lại), tạo thành một hình bình hành.
  3. Đáy của hình bình hành này bằng tổng độ dài hai đáy của hình thang (a + b).
  4. Chiều cao của hình bình hành bằng chiều cao h của hình thang.
  5. Diện tích hình bình hành là: (a + b) * h.
  6. Diện tích hình thang bằng một nửa diện tích hình bình hành: S = (1/2) * (a + b) * h.
Cách 4: Sử dụng đường trung bình

  1. Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên. Độ dài đường trung bình bằng trung bình cộng độ dài hai đáy: m = (a + b) / 2.
  2. Kẻ đường trung bình MN của hình thang ABCD.
  3. Cắt hai tam giác nhỏ ở hai góc trên (ví dụ ΔAMX và ΔBNY, với X và Y là giao điểm của đường trung bình kéo dài với đường thẳng chứa đáy CD) và xoay chúng sao cho chúng khớp với phần dưới, tạo thành một hình chữ nhật.
  4. Hình chữ nhật này có chiều dài bằng độ dài đường trung bình m = (a + b) / 2 và chiều rộng bằng chiều cao h của hình thang.
  5. Diện tích hình chữ nhật là: m * h = ((a + b) / 2) * h = (1/2) * (a + b) * h.
  6. Vì diện tích hình thang bằng diện tích hình chữ nhật vừa tạo thành, nên diện tích hình thang là: S = (1/2) * (a + b) * h.
 

giangapao.

Học sinh mới
25 Tháng sáu 2024
14
4
6
21
Du học sinh
Xác định các điểm và mặt phẳng:
  • Hình tứ diện ABCD có bốn đỉnh A, B, C, D.
  • Mặt phẳng ABC là một trong bốn mặt của tứ diện.
Vẽ sơ đồ phẳng:
  • Đầu tiên, vẽ tam giác ABC trên mặt phẳng. Đây sẽ là mặt phẳng cơ sở.
  • Xác định vị trí của điểm D trong không gian. Điểm D không nằm trên mặt phẳng ABC.
  • Để biểu diễn điểm D trên sơ đồ phẳng, chúng ta cần chiếu điểm D xuống mặt phẳng ABC. Điều này có thể được thực hiện bằng cách vẽ một đường thẳng vuông góc từ D xuống mặt phẳng ABC. Giao điểm của đường thẳng này với mặt phẳng ABC sẽ là hình chiếu của D, gọi là D'.
Hoàn thiện sơ đồ:
  • Trên sơ đồ phẳng, vẽ các đường nối từ D' đến các đỉnh A, B, và C để biểu diễn các cạnh của tứ diện.
  • Đảm bảo rằng các đường nối này thể hiện đúng vị trí tương đối của điểm D so với mặt phẳng ABC.
Kiểm tra và chỉnh sửa:
  • Kiểm tra lại các tỷ lệ và góc để đảm bảo sơ đồ phẳng chính xác.
  • Nếu cần, sử dụng các công cụ đo đạc để điều chỉnh vị trí các điểm.
Kết quả cuối cùng là một sơ đồ phẳng biểu diễn hình tứ diện ABCD với điểm D được chiếu xuống mặt phẳng ABC. Sơ đồ này giúp hình dung cấu trúc của tứ diện trong không gian ba chiều trên một mặt phẳng hai chiều.
 
Top Bottom