Toán 10 Cho $a,b,c$ là 3 cạnh của tam giác

Nhận xét vì $a,b,c$ là 3 cạnh của tam giác và $a+b+c=3$ nên $0<a,b,c<3$
Bất đẳng thức được viết lại thành
[tex]\frac{(3-2c)^3}{3c}+\frac{(3-2b)^3}{3c}+\frac{(3-2a)^3}{3a}\geq 1[/tex]
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức phụ sau
[tex]\frac{(3-2x)^3}{3x}\geq \frac{-7x+8}{3}[/tex] với $0 < x < 3$
[tex]\Leftrightarrow \frac{(x-\frac{27}{8})(x-1)^2}{x}\leq 0[/tex]
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng với $0<x<3$
Áp dụng vào bài toán, ta có
[tex]VT\geq \frac{-7a+8}{3}+\frac{-7b+8}{3}+\frac{-7c+8}{3}=1[/tex]
Chứng minh hoàn tất. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$