Toán 9 Min , Max hình học

Kẻ đường phân giác $AD$

Để $BCFE$ có diện tích lớn nhất thì $AEF$ có diện tích nhỏ nhất hay tỉ lệ $\dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}} = \dfrac{AE}{AB} \cdot \dfrac{AF}{AC} = x \cdot y$ nhỏ nhất.

Mà ta có hệ thức liên hệ giữa hai tỉ lệ như sau:

$\dfrac{S_{AEO}}{S_{ABD}} = \dfrac{AE}{AB} \cdot \dfrac{AO}{AD}$

$\dfrac{S_{AFO}}{S_{ACD}} = \dfrac{AF}{AC} \cdot \dfrac{AO}{AD}$

$\dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}} = \dfrac{AE}{AB} \cdot \dfrac{AF}{AC}$

Do $S_{AEF} = S_{AEO} + S_{AFO}$

Suy ra $\dfrac{AE}{AB} \cdot \dfrac{AF}{AC} S_{ABC} = \dfrac{AE}{AB} \cdot \dfrac{AO}{AD} S_{ABD} + \dfrac{AF}{AC} \cdot \dfrac{AO}{AD} S_{ACD}$

Thay các tỉ lệ $\dfrac{AE}{AB} = x$ và $\dfrac{AF}{AC} = y$, bỏ qua các hằng số đi thì ta có:
$$xy \cdot a = x \cdot b + y \cdot c$$
Tới đây áp dụng bđt Cô-si:
$$a = \dfrac{b}{y} + \dfrac{c}{x} \geqslant 2 \sqrt{\dfrac{bc}{xy}}$$
Suy ra $xy \geqslant \ldots$. Dấu '=' xảy ra bạn tự tìm lại nhé

Nếu có thắc mắc gì thì bạn có thể hỏi lại. Chúc bạn học tốt!