Toán 9 Học bất đẳng thức có khó không ?

"Học bất đẳng thức có khó không?"

Tất nhiên là khó rồi, từ trước đến nay chứng minh bất đẳng thức chỉ dành cho học sinh khá giỏi và các bài toán chứng minh bất đẳng thức thường nằm ở câu cuối đề tuyển sinh vào 10 môn Toán hay trong đề thi HSG Toán
Vậy làm sao để học tốt phần bất đẳng thức

Trên thế giới này có rất nhiều bất đẳng thức, rất nhiều các định lý liên quan đến bất đẳng thức, rất nhiều kĩ thuật nhỏ chứng minh bất đẳng thức nên để biết hết chúng là điều không thể . Điều quan trọng nhất là chúng ta phải hiểu rõ các bất đẳng thức cơ bản, đó sẽ là yếu tố quan trọng đầu tiên để các bạn học tốt phần bất đẳng thức

Vậy nên hôm nay mình sẽ giới thiệu cho các bạn bất đẳng thức cơ bản đầu tiên, bất đẳng thức liên hệ giữa trung bình cộng - trung bình nhân ( AM-GM)

Cùng vào học với mình nhé

Phần 1: Bất đẳng thức AM-GM và ứng dụng

1. Lý thuyết và ví dụ

Định lý 1 (Bất đẳng thức AM-GM):
Với mọi số thức dương [tex]a_{1},a_{2},...,a_{n}[/tex] ta có bất đẳng thức [tex]\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}\geq \sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}[/tex]
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi [tex]a_{1}=a_{2}=...=a_{n}[/tex]

Chứng minh: Rõ ràng bất đẳng thức với $n=2$, nếu bất đẳng thức đúng với $n$ số thì cũng sẽ đúng với $2n$ số vì:
[tex]a_{1}+a_{2}+...+a_{2n}\geq n\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}+n\sqrt[n]{a_{n+1}a_{n+2}...a_{2n}}\geq 2n\sqrt[2n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}[/tex]
Do đó bất đẳng thức cũng đúng khi $n$ bằng một lũy thừa của 2. Mặt khác nếu bất đẳng thức đúng với $n$ số thì cũng đúng với $n-1$ số, thật vậy ta chỉ cần chọn
[tex]a_{n}=\frac{s}{n-1}[/tex] với [tex]s=a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}[/tex]
[tex]\Rightarrow s+\frac{s}{n-1}\geq n\sqrt[n]{\frac{a_{1}a_{2}...a_{n-1}.s}{n-1}}[/tex]
[tex]\Rightarrow s\geq (n-1)\sqrt[n-1]{a_{1}a_{2}...a_{n-1}}[/tex]
Từ 2 nhận xét trên ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tất cả các biến [tex]a_{1},a_{2},...,a_{n}[/tex] bằng nhau.

Bất đẳng thức AM-GM là bất đẳng thức quen thuộc và nó có ứng dụng rộng rãi, là bất đẳng thức đầu tiên mà các bạn cần phải ghi nhớ rất rõ và sử dụng một cách thành thạo. Khi sử dụng bất đẳng thức chúng ta cần hết sức chú ý tới điều kiện của đẳng thức khi [tex]a_{1}=a2=...=a_{n}[/tex] và cần tách hệ số phù hợp.

Có nhiều cách chứng minh bất đẳng thức AM-GM, cách chứng minh hay nhất có thể là cách sử dụng phương pháp quy nạp Cauchy (như chứng minh trên). Có lẽ vì vậy mà nhiều người nhầm lẫn rằng Cauchy phát hiện ra bất đẳng thức này. Ông chỉ là người đưa ra chứng minh rất hay của mình chứ không phải là người phát hiện đầu tiên. Đây là một sự nhầm lẫn khá kì lạ và đáng ngạc nhiên trong thời gian dài !?

Sau đây là một số bài toán đặc trưng sử dụng bất đẳng thức AM-GM

VD1: Chứng minh rằng với mọi số thức không âm $a,b,c$ ta có: [tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}[/tex]

Lời giải:
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số
$(a+b+c) \left( \dfrac{1}a + \dfrac{1}b + \dfrac{1}c \right)$ [tex]\geq 3\sqrt[3]{abc}.\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}=9[/tex]
Bất đẳng thức tổng quát hơn được chứng minh hoàn toàn tương tự
[tex]\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}}\geq \frac{n^{2}}{a_{1}+a_{2}+...+a_{_{n}}}[/tex]

VD2: Chứng minh rằng với mọi số thực không âm $a,b,c$ ta có : [tex]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}[/tex]

Lời giải:
Xét các biểu thức sau:
[tex]S=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}[/tex]
[tex]M=\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{a}{a+b}[/tex]
[tex]N=\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}+\frac{b}{a+b}[/tex]

Ta có $M+N=3$. Mặt khác theo bất đẳng thức AM-GM thì
[tex]M+S=\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+a}+\frac{c+a}{a+b}\geq 3[/tex]
[tex]N+S=\frac{a+c}{b+c}+\frac{a+b}{c+a}+\frac{b+c}{a+b}\geq 3[/tex]
Vậy [tex]M+N+2S\geq 6\Rightarrow 2S\geq 3[/tex]. Đây là đpcm

VD3: Với $x,y,z$ là các số thực dương với tích bằng 1, chứng minh bất đẳng thức sau: [tex]\frac{x^{3}}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^{3}}{(1+z)(1+x)}+\frac{z^{3}}{(1+x)(1+y)}\geq \frac{3}{4}[/tex]

Lời giải:
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số:
[tex]\frac{x^{3}}{(1+y)(1+z)}+\frac{1+y}{8}+\frac{1+z}{8}\geq \frac{3x}{4}[/tex]
Tương tự, ta có 2 bất đẳng thức với $y,z$ rồi cộng lại suy ra:
[tex]\frac{x^{3}}{(1+y)(1+z)} + \frac{y^{3}}{(1+z)(1+x)} + \frac{z^{3}}{(1+x)(1+y)} \geq \frac{x+y+z}{2}-\frac{3}{4}[/tex]
Mặt khác [tex]x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}=3[/tex] nên ta có đpcm

VD4: Với mọi $x,y,z$ dương, hãy chứng minh: [tex]\frac{x^{3}}{yz}+\frac{y^{3}}{xz}+\frac{z^{3}}{xy}\geq x+y+z[/tex]

Lời giải:
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số
[tex]\frac{x^{3}}{yz}+y+z\geq 3x,\frac{y^{3}}{xz}+x+z\geq 3y,\frac{z^{3}}{xy}+x+y\geq 3z[/tex]
Cộng 3 vế bất đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh.

2. Bài tập vận dụng

Câu 1: Giả sử $a,b,c,d$ là các số thực không âm thỏa mãn $ab+bc+cd+da=1$. Chứng minh [tex]\frac{a^{3}}{b+c+d}+\frac{b^{3}}{c+d+a}+\frac{c^{3}}{a+b+d}+\frac{d^{3}}{a+b+c}\geq \frac{1}{3}[/tex]

Câu 2: Chứng minh rằng với mọi số thực không âm $a,b,c,d$ ta có bất đẳng thức [tex]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\geq 2[/tex]

Câu 3: Chứng minh với mọi $x,y,z$ dương ta có [tex]x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq \sqrt{2}(xy+xz)[/tex]

Có bạn nào làm được 1 trong 3 câu trên không
Trả lời đáp án xuống dưới cho mình biết nhé
Chúc các bạn học tốt

Phần 2: Kỹ thuật Cosi ngược dấu

Kỹ thuật cosi ngược dấu là một trong những kỹ thuật hay, khéo léo, mới mẻ và ấn tượng nhất của bất đẳng thức AM - GM. Chúng ta cùng cùng tìm hiểu qua những ví dụ nhé

VD1: Các số thực dương $a,b,c$ thoản mãn điều kiện $a+b+c=3$. Chứng minh bất đẳng thức: [tex]\frac{a}{1+b^{2}}+\frac{b}{1+c^{2}}+\frac{c}{1+a^{2}}\geq \frac{3}{2}[/tex]
Lời giải:
Với bài toán này ta không thể dùng trực tiếp bất đẳng thức AM-GM với mẫu số vì bất đẳng thức sau đó sẽ biến đổi chiều
[tex]\frac{a}{1+b^{2}}+\frac{b}{1+c^{2}}+\frac{c}{1+a^{2}}\leq \frac{a}{2b}+\frac{b}{2c}+\frac{c}{2a}\geq \frac{3}{2}[/tex] $?!$

Tuy nhiên, rất may mắn ta có thể dùng lại bất đẳng thức theo cách khác
[tex]\frac{a}{1+b^{2}}=a-\frac{ab^{2}}{1+b^{2}}\geq a-\frac{ab^{2}}{2b}=a-\frac{ab}{2}[/tex]

Ta đã sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số [tex]1+b^{2}\geq 2b[/tex] ở dưới mẫu nhưng lại có một bất đẳng thức thuận chiều ? Sự may mắn ở đây là một cách dùng ngước của bất đẳng thức AM-GM, một kỹ thuật rất ấn tượng và bất ngờ. Nếu không sử dụng phương pháp này bất đẳng thức trên sẽ rất khó và dài.

Từ bất đẳng thức trên, xây dựng 2 bất đẳng thức tương tự với $b,c$ rồi cộng cả 3 bất đẳng thức này lại suy ra:
[tex]\frac{a}{1+b^{2}}+\frac{b}{1+c^{2}}+\frac{c}{1+a^{2}}\geq a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}\geq \frac{3}{2}[/tex]
vì ta có [tex]ab+bc+ca\leq 3[/tex]. Đẳng thức chỉ xảy ra khi $a=b=c=1$

Với cách làm trên ta có thể xây dựng một bất đẳng thức tương tự với 4 số, ta cùng qua ví dụ 2 nhé

VD2: Chứng minh rằng với mọi $a,b,c,d$ dương có tổng bằng 4 thì: [tex]\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}+\frac{1}{d^{2}+1}\geq 2[/tex]

Lời giải:
Thật vậy, ta có đánh giá sau : [tex]\frac{1}{a^{2}+1}=1-\frac{a^{2}}{a^{2}+1}\geq 1-\frac{a^{2}}{2a}=1-\frac{a}{2}[/tex]
Sau đó ta chỉ cần làm tương tự với $b,c,d$ rồi cộng lại

Kĩ thuật Cosi ngược là một kỹ thuật mới giúp ta giải quyết bài toán theo lối suy nghĩ nhẹ nhàng. Các kết quả làm được bằng kỹ thuật này nói chung cũng rất khó có thể làm theo cách khác, hoặc phải làm theo cách khá dài.

Topic của mình đến đây là hết rồi. Chúc các bạn học tốt