Toán 9 Bất đẳng thức

Từ giả thiết ta có: [TEX]ab+c(a+b)=3c^2[/TEX]
[tex]P=\frac{a^2+3ac+b^2+3bc}{(a+3c)(b+3c)}=\frac{(a+b)^2+3c(a+b)-2ab}{9c^2+3c(a+b)+ab}+\frac{ab}{c(a+b)}=\frac{(a+b)^2+3c(a+b)-2[3c^2-c(a+b)]}{9c^2+3c(a+b)+3c^2-c(a+b)}+\frac{3c^2-c(a+b)}{c(a+b)}=\frac{(a+b)^2+5c(a+b)-6c^2}{12c^2+2c(a+b)}+\frac{3c}{a+b}-1=\frac{[(a+b)+6c][(a+b)-c]}{2c[(a+b)+6c]}+\frac{3c}{a+b}-1=\frac{a+b-c}{2c}+\frac{3c}{a+b}-1=\frac{a+b}{2c}+\frac{3c}{a+b}-\frac{3}{2}[/tex]
Đặt [TEX]\frac{a+b}{c}=t \Rightarrow P=\frac{t}{2}+\frac{3}{t}-\frac{3}{2} \geq 2\sqrt{\frac{3}{2}}-\frac{3}{2}[/TEX]
Lại có: [tex]4c^2=(c+a)(c+b) \leq (\frac{2c+a+b}{2})^2 \Rightarrow \frac{2c+a+b}{2} \geq 2c \Rightarrow a+b \geq 2c \Rightarrow t \geq 2; 3c^2=c(a+b)+ab > c(a+b) \Rightarrow a+b < 3c \Rightarrow t < 3 \Rightarrow \frac{t}{2}+\frac{3}{t}-\frac{5}{2}=\frac{t-2}{2}+\frac{3}{t}-\frac{3}{2}=\frac{t-2}{2}+\frac{3(2-t)}{2t}=(t-2)(\frac{1}{2}-\frac{3}{2t})=\frac{(t-2)(t-3)}{2t} \leq 0 \Rightarrow P \leq \frac{5}{2}-\frac{3}{2}=1[/tex]