Toán 9 BĐT

Nguyễn Phúc Lương said:

Cho [tex]\left\{\begin{matrix} a,b>0\\ a+b=1 \end{matrix}\right.[/tex]. Cmr [tex]S=\frac{1}{a^4+b^4}+\frac{2}{a^2b^2}\geq 40[/tex]

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[tex]a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2=((a+b)^2-2ab)^2-2a^2b^2=(1-2ab)^2-2a^2b^2=2a^2b^2-4ab+1[/tex]
Đặt [tex]x=ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}=\frac{1}{4}[/tex]
[tex]\Rightarrow S=\frac{1}{2x^2-4x+1}+\frac{2}{x^2}[/tex] với [tex]\frac{1}{4}\geq x> 0[/tex]
Xét [tex]S-40=\frac{(1-4x)(20x^3-35x^2+2)}{x^2(2x^2-4x+1)}[/tex]
Có [tex](1-4x)(-5x^2+8x+1)\geq (1-4x)(-5.\frac{1}{4^2}+1+8x)=(1-4x)(\frac{11}{6}+8x)\geq 0\Rightarrow (1-4x)(-5x^2+8x+1)\geq 0\Rightarrow (20x^3-35x^2+2)\geq (2x^2-4x+1)[/tex]
và [tex](2x^2-4x+1)\geq \frac{1}{8}>0[/tex] (tự chứng minh)
[tex]\Rightarrow \frac{(20x^3-35x^2+2)}{(2x^2-4x+1)}\geq 1\Rightarrow P-40\geq 0\Rightarrow P\geq 40[/tex]
[tex]\Rightarrow P_{min}=40[/tex] tại $x=\frac{1}{4}$