Toán 8 chứng minh bđt

1. Áp dụng BĐT Bunhiacopsky và AM-GM:

[tex]A=\frac{\sqrt{ab+3c}+\sqrt{2a^2+2b^2}}{3+\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{(c+a)(c+b)}+\sqrt{2(a^2+b^2)}}{a+b+c+\sqrt{ab}} \geq \frac{c+\sqrt{ab}+a+b}{a+b+c+\sqrt{ab}}=1[/tex]

Dấu "=" xảy ra tại [tex]a=b=c=1[/tex]

2. [tex]\sum \frac{ab}{a+b+2c} = \sum( \frac{ab}{4}.\frac{4}{a+c+b+c}) \leq \sum [\frac{ab}{4}.(\frac{1}{c+a}+\frac{1}{b+c})]=\frac{1}{4} \sum (\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{b+c})=\frac{1}{4}.(a+b+c)[/tex]

Dấu "=" xảy ra tại [tex]a=b=c[/tex]

4. Theo đề bài ta có [tex]2 \geq a,b \geq 0[/tex]

[tex]\Rightarrow a(2-a) \leq 0 \Leftrightarrow 2a \geq a^2[/tex]

[tex]\Rightarrow \sqrt{4a+1} \geq \sqrt{a^2+2a+1}=\sqrt{(a+1)^2}=a+1[/tex]

Tương tự: [tex]\sqrt{4b+1} \geq b+1[/tex]

[tex]\Rightarrow VT \geq a+b+2=4[/tex]

Dấu "=" xảy ra khi [tex](a;b)=(0;2);(2;0)[/tex]

5. [tex]P=\frac{(a+b-2)(a^2+b^2)}{a+b}=\frac{(a+b-2)[(a+b)^2-2ab]}{a+b}=\frac{(a+b-2)[(a+b)^2]-8}{a+b}[/tex]

Đặt [tex]a+b=x \Rightarrow x \geq 2\sqrt{ab}=4[/tex]

[tex]P=\frac{(x-2)(x^2-8)}{x}=\frac{x^3-2x^2-8x+16}{x}=x^2-2x-8+\frac{16}{x}[/tex]

[tex]=(x-4)^2+6x-24-\frac{16}{x}=(x-4)^2+\frac{16}{x}+x+5x-24 \geq 2\sqrt{\frac{16}{x}x}+5.4-24=4[/tex]

Dấu "=" xảy ra tại [tex]a=b=2[/tex]

3
[tex]Cm \frac{4}{a}+5a^2\geq 2a^3+5 <=> \frac{(a-1)^2(-2a^2+a+4)}{a}\geq 0[/tex]
Xét [tex]\frac{-2a^2+a+4}{a}=-2a+1+\frac{4}{a}=\frac{4}{a}+a+1-3a\geq 4a-3a+1 =a +1 >0[/tex]
Chứng minh tương tự với b và c ta có đpcm

Wweee said:

3
[tex]Cm \frac{4}{a}+5a^2\geq 2a^3+5 <=> \frac{(a-1)^2(-2a^2+a+4)}{a}\geq 0[/tex]
Xét [tex]\frac{-2a^2+a+4}{a}=-2a+1+\frac{4}{a}=\frac{4}{a}+a+1-3a\geq 4a-3a+1 =a +1 >0[/tex]
Chứng minh tương tự với b và c ta có đpcm

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Bài làm sai rồi.

BĐT phụ: [tex]\frac{4}{a}+5a^2 \geq 2a^3+7 \Leftrightarrow (a-1)^2(-2a+\frac{4}{a}+1) \geq 0[/tex]

Ta có: [tex]a^3=3-b^3-c^3 \leq 3 \Leftrightarrow a \leq \sqrt[3]{3}[/tex]

[tex]-2a+\frac{4}{a}+1=\frac{4}{a}+a-3a+1 \geq 4-3a+1=5-3a \geq 5-3\sqrt[3]{3}>0[/tex] ( đpcm )

Tương tự rồi cộng theo vế: [tex]VT \geq 2(a^3+b^3+c^3)+7.3=27[/tex]

Dấu "=" xảy ra tại [tex]a=b=c=1[/tex]

TranPhuong27 said:

Bài làm sai rồi.

BĐT phụ: [tex]\frac{4}{a}+5a^2 \geq 2a^3+7 \Leftrightarrow (a-1)^2(-2a+\frac{4}{a}+1) \geq 0[/tex]

Ta có: [tex]a^3=3-b^3-c^3 \leq 3 \Leftrightarrow a \leq \sqrt[3]{3}[/tex]

[tex]-2a+\frac{4}{a}+1=\frac{4}{a}+a-3a+1 \geq 4-3a+1=5-3a \geq 5-3\sqrt[3]{3}>0[/tex] ( đpcm )

Tương tự rồi cộng theo vế: [tex]VT \geq 2(a^3+b^3+c^3)+7.3=27[/tex]

Dấu "=" xảy ra tại [tex]a=b=c=1[/tex]

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Nhầm tí sorry sorry =)) mà bạn còn cách nào khác k