Toán 10 Chứng minh bất phương trình

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

[tex](a^3+1)(a+1) \geq (a^2+1)^2 \Leftrightarrow a^3+1 \geq \frac{(a^2+1)^2}{a+1}[/tex]

Lại theo AM-GM ta có: [tex]2(a^2+1) \geq (a+1)^2 \Leftrightarrow \sqrt{2(a^2+1)} \geq a+1[/tex]

Do đó: [tex]a^3+1 \geq \frac{(a^2+1)^2}{\sqrt{2(a^2+1)}} \Rightarrow \frac{a^3+1}{b\sqrt{a^2+1}} \geq \frac{(a^2+1)^2}{b\sqrt{2}(a^2+1)}=\frac{a^2+1}{b\sqrt{2}}[/tex]

Ta cần chứng minh [tex]\sum \frac{a^2+1}{b\sqrt{2}} \geq \sqrt{2}\sum a \Leftrightarrow \sum \frac{a^2+1}{b} \geq 2\sum a[/tex]

[tex]\Leftrightarrow ac(a^2+1)+ab(b^2+1)+bc(c^2+1) \geq 2abc(a+b+c)[/tex]

[tex]\Leftrightarrow a^3c+b^3a+c^3b+ab+bc+ca \geq 2abc(a+b+c)[/tex]

Áp dụng BĐT AM-GM:

[tex]a^3c +ab+a^2b^2c^2 \geq 3\sqrt[3]{a^6b^3c^3}=3a^2bc[/tex]

Tương tự [tex]\Rightarrow a^3c+b^3a+c^3b+ab+bc+ca \geq 3abc(a+b+c)-3a^2b^2c^2=3abc(a+b+c-abc)[/tex]

Cần chứng minh [tex]3abc(a+b+c-abc) \geq 2abc(a+b+c)[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 3(a+b+c)-3abc \geq 2(a+b+c)[/tex]

[tex]\Leftrightarrow a+b+c \geq 3abc[/tex]

Áp dụng BĐT AM-GM: [tex]a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc} \geq 3abc[/tex] do [tex]abc \leq 1[/tex]

Bất đẳng thức được chứng minh.

Dấu "=" xảy ra khi [tex]a=b=c=1[/tex]