Toán 9 BĐT

Wweee · 3 Tháng sáu 2020

Với các số thực a,b,c không âm thỏa mãn a+b+c=3 Tìm Min và Max của P=ab+bc+ca-[tex]\frac{1}{2}abc[/tex]
( các bạn cho mình xin cách dự đoán khi mà dấu bằng không xảy ra tại a=b=c với )

7 1 2 5 · 3 Tháng sáu 2020

Min: [tex]a+b+c=3\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow 0\leq abc\leq 1\Rightarrow P=ab+bc+ca-\frac{1}{2}abc\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}-\frac{1}{2}abc\geq 3abc-\frac{1}{2}abc=\frac{5}{2}abc\geq 0[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi (a,b,c)=(3,0,0) và hoán vị.
Max: Đặt [tex]p=a+b+c=3,q=ab+bc+ca,r=abc\Rightarrow P=q-\frac{1}{2}r[/tex]
Theo BĐT Schur bậc 3 thì [tex]r\geq \frac{p(4q-p^2)}{9}=\frac{4q-9}{3}\Rightarrow P\leq q-\frac{4q-9}{6}=\frac{2q+9}{6}[/tex]
Mà [tex]q\leq \frac{p^2}{3}=3\Rightarrow P\leq \frac{5}{2}[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi (a,b,c)=(1,1,1)

Wweee · 3 Tháng sáu 2020

Cái đó là bạn dự đoán dấu bằng hay Min trước rồi mới giải à ??? cho mình xin cách dự đoán với :v tks

Lena1315 · 3 Tháng sáu 2020

Wweee said:
Cái đó là bạn dự đoán dấu bằng hay Min trước rồi mới giải à ??? cho mình xin cách dự đoán với :v tks

gặp bđt 3 biến thì dấu bằng thường xảy ra tại 3TH
TH1: 3 biến bằng nhau
TH2: 1 biến bằng 0, 2 biến còn lại bằng nhau
TH3: 2 biến bằng 0, biến còn lại thay vào giả thiết là tìm được
Thử 3 TH rồi xem cái nào min, max thôi ^^

Wweee · 16 Tháng sáu 2020

Mộc Nhãn said:
Min: [tex]a+b+c=3\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow 0\leq abc\leq 1\Rightarrow P=ab+bc+ca-\frac{1}{2}abc\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}-\frac{1}{2}abc\geq 3abc-\frac{1}{2}abc=\frac{5}{2}abc\geq 0[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi (a,b,c)=(3,0,0) và hoán vị.
Max: Đặt [tex]p=a+b+c=3,q=ab+bc+ca,r=abc\Rightarrow P=q-\frac{1}{2}r[/tex]
Theo BĐT Schur bậc 3 thì [tex]r\geq \frac{p(4q-p^2)}{9}=\frac{4q-9}{3}\Rightarrow P\leq q-\frac{4q-9}{6}=\frac{2q+9}{6}[/tex]
Mà [tex]q\leq \frac{p^2}{3}=3\Rightarrow P\leq \frac{5}{2}[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi (a,b,c)=(1,1,1)

Hình như dấu bằng MIN bạn nhầm à ???

mbappe2k5 · 16 Tháng sáu 2020

Wweee said:
Hình như dấu bằng MIN bạn nhầm à ???

Vẫn đúng nhé. Bạn thay thử vào đi thì sẽ biết. Trên thực tế dấu bằng xảy ra khi [TEX]ab=bc=ca[/TEX] và [TEX]abc=0[/TEX] như thế có nghĩa là 2 biến bằng 0, biến còn lại bằng 3.

Wweee · 16 Tháng sáu 2020

mbappe2k5 said:
Vẫn đúng nhé. Bạn thay thử vào đi thì sẽ biết. Trên thực tế dấu bằng xảy ra khi [TEX]ab=bc=ca[/TEX] và [TEX]abc=0[/TEX] như thế có nghĩa là 2 biến bằng 0, biến còn lại bằng 3.

Nhưng mà bạn ý còn sử dụng cái [tex]a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}[/tex] nữa mà cái này dấu bằng khi a=b=c ?

Lê.T.Hà · 16 Tháng sáu 2020

Min dấu "=" xảy ra có liên quan gì đến dấu bằng của [tex]a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}[/tex] đâu mà a=b=c ở đây bạn?

Wweee · 16 Tháng sáu 2020

Lê.T.Hà said:
Min dấu "=" xảy ra có liên quan gì đến dấu bằng của [tex]a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}[/tex] đâu mà a=b=c ở đây bạn?

vậy là dấu bằng của giả thiết k liên quan đến dấu bằng Min à bạn ???
=)) Mình tưởng dấu bằng xảy ra là mấy cái dấu bằng của các BĐT phụ sử dụng trên cũng đều xảy ra dấu bằng chứ

7 1 2 5 · 16 Tháng sáu 2020

Wweee said:
Nhưng mà bạn ý còn sử dụng cái [tex]a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}[/tex] nữa mà cái này dấu bằng khi a=b=c ?

BĐT đó không phải là BĐT chính nhé, mà là [TEX]ab+bc+ca \geq 3 \sqrt[3]{a^2b^2c^2}[/TEX].
Dấu "=" xảy ra khi [TEX]ab=bc=ca[/TEX].
Kết hợp với [TEX]abc=0,a+b+c=3[/TEX] ta có [TEX](a,b,c)=(0,0,3)[/TEX] và hoán vị.

Lê.T.Hà · 16 Tháng sáu 2020

Đọc lời giải thì chịu khó tư duy đi bạn.
[tex]a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}[/tex] chỉ để xác định khoảng [tex]0\leq abc\leq 1[/tex]
Sau đó bạn ấy sử dụng [tex]0\leq abc\leq 1\Rightarrow 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\geq 3abc[/tex]
Dấu "=" của BĐT này xảy ra ở 2 chỗ: [tex]abc=0[/tex] hoặc [tex]abc=1[/tex] và cái min thì [tex]abc=0[/tex] chẳng liên quan gì đến [tex]abc=1[/tex] hết

Tìm kiếm

Tìm kiếm

Toán 9 BĐT

Wweee

Học sinh

7 1 2 5

Cựu TMod Toán

Wweee

Học sinh

Lena1315

Học sinh chăm học

Wweee

Học sinh

mbappe2k5

Học sinh gương mẫu

Wweee

Học sinh

Lê.T.Hà

Học sinh tiến bộ

Wweee

Học sinh

7 1 2 5

Cựu TMod Toán

Lê.T.Hà

Học sinh tiến bộ