Toán 9 Chứng minh

Trần Nguyên Lan said:

Cho 2015 số nguyên dương [TEX]a_1,a_2,a_3,...,a_{2015}[/TEX] thỏa mãn :
[tex]\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+\frac{1}{\sqrt{a_3}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{2015}}}\geq 89[/tex]
Chứng minh có ít nhất hai số bằng nhau trong 2015 số nguyên dương đó

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

giả sử trong 2015 số không có số nào bằng nhau
suy ra: [tex]\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+\frac{1}{\sqrt{a_3}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{2015}}} < \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2015}}=\frac{2}{2\sqrt{a_1}}+\frac{2}{2\sqrt{a_2}}+\frac{2}{2\sqrt{a_3}}+...+\frac{2}{2\sqrt{a_{2015}}}\\\\ < 2.(\frac{1}{\sqrt{0}+\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{2014}+\sqrt{2015}})=2.(\sqrt{1}-\sqrt{0}+\sqrt{2}-\sqrt{1}+...+\sqrt{2015}-\sqrt{2014})\\\\ =2.\sqrt{2015} < 89 [/tex]
mà theo giả thiết => vô lí
suy ra điều giả sử là sai => đpcm