Toán 10 phương trình đường thẳng

Nguyen Thi Yen Kieu said:

Cho tam giác ABC cân tại A, có A(-1;4) và các đỉnh B, C thuộc đt d: x-y-4=0. Xét tọa độ B,C biết diện tích tam giác ABC=18.

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Ta có:
AH = d(A,BC) = [tex]\frac{9\sqrt{2}}{2}[/tex]
=> BC = [tex]\frac{2S}{AH}[/tex]
Mà: t/g ABC cân => AB=AC = [tex]\sqrt{AH^2+\frac{BC^2}{4}}[/tex]
=> hệ pt:
+ (x+1)^2 + (y-4)^2 = AB^2
+ x-y-4 = 0
=> x1,y1 và x2,y2 => bài toán có hai trường hợp ứng với B và C

+ Gọi đường thẳng qua A và vuông góc với (d) là $( \Delta)$
1 vector pháp tuyến (d): $\overrightarrow{n_d}=(1;-1)$, xem như trùng vector chỉ phương của $( \Delta)$ $\overrightarrow{u_{ \Delta}}$
$\Rightarrow$ vector pháp tuyến của $( \Delta)$: $\overrightarrow{n_{ \Delta}}=(1;1)$
Do đó phương trình của $( \Delta)$: $(x+1)+(y-4)=0 \Leftrightarrow x+y-3=0$
Đặt tọa độ B là $B(x; x-4)$; tọa độ giao điểm của $(d)$ và $( \Delta)$ là H $\Leftrightarrow H \left ( \dfrac{7}{2}; - \dfrac{1}{2} \right )$
$\overrightarrow{AH}= \left ( \dfrac{9}{2}; - \dfrac{9}{2} \right ) \Leftrightarrow AH= \dfrac{9 \sqrt{2}}{2}$
$\overrightarrow{HB}= \left ( x- \dfrac{7}{2}; x- \dfrac{7}{2} \right ) \Leftrightarrow HB= \sqrt{ \left ( x- \dfrac{7}{2} \right ) ^2 + \left ( x- \dfrac{7}{2} \right ) ^2} = \sqrt{2}. \left | x- \dfrac{7}{2} \right |$
+ Ta lại có $S_{ABC}=18 \Rightarrow S_{ABH}=9$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.AH.HB=9 \\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}. \dfrac{9 \sqrt{2}}{2}. \sqrt{2}. \left | x- \dfrac{7}{2} \right | =9 \\
\Leftrightarrow \left | x- \dfrac{7}{2} \right | =2 $
$\Leftrightarrow
\left[\begin{matrix}
x= \dfrac{11}{2} \Rightarrow y=x-4= \dfrac{3}{2} \\ x= \dfrac{3}{2} \Rightarrow y=- \dfrac{5}{2}
\end{matrix}\right.
$
Do đó $B \left ( \dfrac{11}{2}; \dfrac{3}{2} \right )$ hoặc $B \left ( \dfrac{3}{2}; - \dfrac{5}{2} \right )$
+ Ta có $
\left\{\begin{matrix}
x_H = \dfrac{x_B + x_C}{2} \\ y_H = \dfrac{y_B + y_C}{2}
\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
x_C=2x_H - x_B \\ y_C=2y_H - y_B
\end{matrix}\right. $
Do đó $C \left ( \dfrac{3}{2}; - \dfrac{5}{2} \right )$ hoặc $C \left ( \dfrac{11}{2}; \dfrac{3}{2} \right )$.

Vậy $B \left ( \dfrac{11}{2}; \dfrac{3}{2} \right ); \ C \left ( \dfrac{3}{2}; - \dfrac{5}{2} \right )$
hoặc $B \left ( \dfrac{3}{2}; - \dfrac{5}{2} \right ); \ C \left ( \dfrac{11}{2}; \dfrac{3}{2} \right )$