Toán 9 Tìm nghiệm nguyên của pt

[tex]5x^3-1=y^3 \Rightarrow 5x^3=y^3+1=(y+1)(y^2-y+1)[/tex]
Dễ chứng minh [tex](y+1,y^2-y+1)\in \left \{ 1;3 \right \}[/tex]
+ Với [tex](y+1,y^2-y+1)=1 \Rightarrow y^2-y+1 \in \left \{ 1;5;x^3,5x^3 \right \}[/tex]
Với từng trường hợp bạn tìm y rồi thử lại.
+ Với [tex](y+1,y^2-y+1)=3\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y+1=3m\\ y^2-y+1=3n\\ (m,n)=1 \end{matrix}\right.\Rightarrow x^3\vdots 3\Rightarrow x\vdots 3\Rightarrow x=3p\Rightarrow 9mn=5.27p^3\Rightarrow mn=15p^3[/tex]
Vì [TEX](m,n)=1[/TEX] nên [tex]m \in \left \{ 1;3;5;15;p^3;3p^3;5p^3;15p^3 \right \}[/tex]

Xét x = 0 suy ra y = -1, y = 0 suy ra vô nghiệm. Với x,y khác 0.
Ta có: [tex]54x^3-1=y^3 \Rightarrow 4.54x^3(54x^3-1)=4.54x^3y^3\Leftrightarrow (4.27x^3-1)^2=(6xy)^3+1[/tex]
Đặt [tex]4.27x^3=a,6xy=b \Rightarrow (a-1)^2=(b-1)(b^2+b+1)[/tex]
Đặt [tex](b-1,b^2+b+1)=d\Rightarrow 3\vdots d[/tex]
Mà [tex](a-1)^2[/tex] không chia hết cho 3 nên [tex]b-1=m^2,b^2+b+1=n^2 \Rightarrow n^2= b^2+b+1=(m^2+1)^2+(m^2+1)+1=m^4+3m^2+3[/tex]
Dễ thấy [tex](m^2+1)^2 < n^2=m^4+3m^2+3< (m^2+2)^2[/tex] nên vô nghiệm.
Vậy (x,y)=(0,-1)

+) Với x=0 [tex]\Rightarrow y=1[/tex]
+) Với [tex]x\neq 0 , pt \Leftrightarrow 216x^3.54x^3+216x^3=216x^3y^3\Leftrightarrow (108x^3)^2 + 2.108x^3+1=(6xy)^3+1\Leftrightarrow (108x^3+1)^2 =(6xy+1)(36x^2y^2-6xy+1)[/tex]
Đặt xy=t (ĐK: [tex]t\epsilon \mathbb{Z},t\neq 0[/tex])
pt [tex]\Leftrightarrow (108x^3+1)^2=(t+1)(t^2-t+1)[/tex] (1)

• t=1 thay vào (1) không thỏa mãn
• t>1

Khi đó [tex]t+1,t^2-t+1[/tex] nguyên dương.
Gọi d = ƯCLN ([tex]t+1,t^2-t+1[/tex] )
Tự CM d= {1;3}
d=3 (loại vì không TM (1)) nên d=1
[tex]\Rightarrow (t+1,t^2-t+1)=1[/tex] [tex]\Rightarrow (t+1,t^2-t+1)=1[/tex]
Áp dụng tính chất nếu 2 số nguyên dương nguyên tố cùng nhau có tích là 1 scp thì mỗi số đều là scp cho t+1 và [tex]t^2-t+1[/tex] ta được t+1 và [tex]t^2-t+1[/tex] đều là scp
Ta thấy [tex]t^2-2t+1<t^2-t+1<t^2\Leftrightarrow (t-1)^2<t^2-t+1<t^2 [/tex]
nên [tex]t^2-t+1[/tex] khong thể là số chính phương
do đó t>1 không xra
Vậy....

Mộc Nhãn said:

[tex]5x^3-1=y^3 \Rightarrow 5x^3=y^3+1=(y+1)(y^2-y+1)[/tex]
Dễ chứng minh [tex](y+1,y^2-y+1)\in \left \{ 1;3 \right \}[/tex]
+ Với [tex](y+1,y^2-y+1)=1 \Rightarrow [tex]y^2-y+1 \in \left \{ 1;5;x^3,5x^3[/tex] \right \}[/tex]
Với từng trường hợp bạn tìm y rồi thử lại.
+ Với [tex](y+1,y^2-y+1)=3\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y+1=3m\\ y^2-y+1=3n\\ (m,n)=1 \end{matrix}\right.\Rightarrow x^3\vdots 3\Rightarrow x\vdots 3\Rightarrow x=3p\Rightarrow 9mn=5.27p^3\Rightarrow mn=15p^3[/tex]
Vì [TEX](m,n)=1[/TEX] nên [tex]m \in \left \{ 1;3;5;15;p^3;3p^3;5p^3;15p^3 \right \}[/tex]

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Có thể cho mình hỏi tại sao ở đây [tex](y + 1)(y^2-y+1) = 5x^3[/tex]thì [tex]y^2 - y + 1 \epsilon (1; 5; x^3; 5x^3)[/tex] được không ạ ? Tại khi phân tích x^3 thành các thừa số nguyên tố thì có thể cho y + 1 và y^2 - y + 1 thành những cái đó chứ đâu nhất thết phải là x^3 nhỉ ?