kĩ thuật ghép đối xứng trong BDT

đây là vài bài tập về phương pháp này
chém thôi )
1) a,b,c là các số thực dương tùy í.CM
[TEX]\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\geq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2})[/TEX]
2) a,b,c là các số thực dương tùy í.CM
[TEX]\sqrt{\frac{a^2+2b^2}{a^2+ab+bc}}+\sqrt{\frac{b^2+2c^2}{b^2+bc+ca}}+\sqrt{\frac{c^2+2a^2}{c^2+ca+ab}}\geq 3[/TEX]
3)a,b,c là các số thực dương thỏa a++b+c=3.cm
[TEX]\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{a+bc}}+ \sqrt{\frac{c+a}{b+ca}}\geq 3[/TEX]
4)a,b,c là các số thực dương tùy í.CM
[TEX]\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\frac{1}{3}\geq \frac{8}{9}(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})[/TEX]
5)a,b,c là các số thực dương tùy í.CM
[TEX](a+\frac{bc}{a})(b+\frac{ca}{b})(c+\frac{ab}{c}) \geq 4 \sqrt[3]{(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)}[/TEX]
6)a,b,c là các số thực dương tùy í.CM
[TEX](1+a+b+c)(1+ab+bc+ca)\geq 4\sqrt{2(a+bc)(b+ca)(c+ab)}[/TEX]
7)a,b,c là các số thực dương tùy í.CM
[TEX]\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{2b+a+c}+\frac{1}{2c+a+b}\leq \frac{1}{a+3b}+\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{c+3a}[/TEX]





cổ vũ và thanks nhiệt tình
hề hề

pekuku said:

đây là vài bài tập về phương pháp này
chém thôi )
1) a,b,c là các số thực dương tùy í.CM
[TEX]\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\geq \sqrt{3(x^2+y^2+z^2})[/TEX]

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]A^2=\sum_{cyc}(\frac{xy}{z})^2+2(x^2+y^2+z^2)[/TEX]
áp dụng BDt [TEX]\sum a^2\geq \sum ab[/TEX]
[TEX]=> A^2\geq (y^2+z^2+x^2)+3(x^2+y^2+z^2)=3(x^2+y^2+z^2)[/TEX]
[TEX]=>A=\sum_{cyc}\frac{xy}{z}\geq \sqrt{3(\sum x^2)} [/TEX]

pekuku said:

2) a,b,c là các số thực dương tùy í.CM
[TEX]\sqrt{\frac{a^2+2b^2}{a^2+ab+bc}}+\sqrt{\frac{b^2+2c^2}{b^2+bc+ca}}+\sqrt{\frac{c^2+2a^2}{c^2+ca+ab}}\geq 3[/TEX]

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Sử dụng AM-GM ta có :
[TEX]VT \ge 3 \sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^2+2b^2}{a^2+ab+bc}}.\sqrt{\frac{b^2+2c^2}{b^2+bc+ca}}.\sqrt{\frac{c^2+2a^2}{c^2+ca+ab}}} [/TEX]
nên ta cần chứng minh :
[TEX](a^2+2b^2)(b^2+2c^2)(c^2+2a^2) \ge (a^2+ab+bc)(b^2+bc+ca)(c^2+ca+ab) [/TEX]

Ta lại có :
[TEX] (b^2+b^2+a^2)(b^2+c^2+c^2) \ge ( b^2+bc+ac)^2[/TEX]

nên ta có điều phải chứng minh.

3)a,b,c là các số thực dương thỏa a+b+c=3.cm
[TEX]\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{a+bc}}+ \sqrt{\frac{c+a}{b+ca}}\geq 3[/TEX]
Tương tự bài trên ta cần chứng minh :
[TEX](a+b)(b+c)(c+a) \ge (a+bc)(b+ac)(c+ab)[/TEX]

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Ta lại có :
[TEX](a+bc)(b+ac) \le \frac{(a+b)^2(1+c)^2}{4} \\ \Rightarrow [(a+bc)(b+ac)(c+ab) ]^2 \le [(a+b)(b+c)(c+a)]^2 . \frac{(1+a)^2(1+b)^2(1+c)^2}{64} \le [(a+b)(b+c)(c+a)]^2 [/TEX]
nên ta có điều phải chứng minh .

5)a,b,c là các số thực dương tùy í.CM
[TEX](a+\frac{bc}{a})(b+\frac{ca}{b})(c+\frac{ab}{c}) \geq 4 \sqrt[3]{(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)}[/TEX]

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Quy đồng lên ta có BDT cần chứng minh tương đương với :
[TEX]\left( \prod_{i=1}^{n}(a^2+bc) \right)^3 \ge 64 a^3b^3c^3(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3) [/TEX]

mà ta lại có :
[TEX][(a^2+bc)(b^2+ca) ]^2 = ( c(a^3+b^3) + ab(ab+c^2) )^2 \ge 4abc(a^3+b^3)(ab+c^2)[/TEX]

nên dễ dàng có điều phải chứng minh