Toán 11 Xét tính tăng giảm của dãy số

Lê.T.Hà said:

a/ Ta có [tex]u_{n}<\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{4}}}=2[/tex]
Mặt khác dãy được viết thành:
[tex]\left\{\begin{matrix} u_{1}=\sqrt{2} & \\ u_{n}=\sqrt{2+u_{n-1}} & \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Rightarrow u_{n}-u_{n-1}=\frac{2+u_{n-1}-u_{n-1}^{2}}{\sqrt{2+u_{n-1}}+u_{n-1}}=\frac{(2-u_{n-1})(u_{n-1}+1)}{\sqrt{2+u_{n-1}}+u_{n-1}}>0[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] dãy tăng và bị chặn trên
b/ Nhân liên hợp các mẫu và rút gọn:
[tex]u_{n}=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\sqrt{n+1}-1[/tex]
[tex]\Rightarrow u_{n+1}-u_{n}=\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}=\frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}>0[/tex]
Dãy tăng
c/ Dễ dàng nhận ra dãy dương
[tex]\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{2}{u_{n}+3}<\frac{2}{3}<1\Rightarrow u_{n+1}<u_{n}[/tex]
Dãy giảm
d/ Giống hệt câu a, trừ chỗ bạn viết đề sai là [tex]u_{n+1}=\sqrt{6+u_{n}}[/tex] mới đúng, chứ như bạn viết thì dãy ko xác định
[tex]u_{n}=\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6}}}<\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{9}}}=3[/tex]

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...