Toán 12 Ôn thi THPTQG

48. $f(x)$ lẻ và đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên gt $\iff f(\dfrac{5xy + 1}{x+1}) = -f(-y-1) = f(y+1) \iff \dfrac{5xy + 1}{x + 1} = y + 1 \iff 4xy = x + y$
Đặt $xy = t$ thì $x + y = 4t$

$x, y > 0$ thì $xy = t > 0$ và $x + y > 0$ hay $t > 0$

$x, y \leqslant 1$ thì $(x-1)(y-1) \geqslant 0$ và $(x - 1) + (y - 1) \leqslant 0$
$\iff xy - (x+y) + 1 \geqslant 0$ và $x+y -2 \leqslant 0$
$\iff t - 4t + 1 \geqslant 0$ và $4t - 2 \leqslant 0$
$\iff t \leqslant \dfrac13$ và $t \leqslant \dfrac12$
$\iff t \leqslant \dfrac13$

Ngoài ra thì $16t^2 = (x+y)^2 \geqslant 4xy = 4t$ nên $t \geqslant \dfrac14$

Vậy $\dfrac14 \leqslant t \leqslant 13$

$P = |2(x+y)^2 - 4xy - 5(x+y) + m^2 - 2m|$
$= |32t^2 - 4t - 20t + m^2 - 2m|$
$= |32t^2 - 24t + m^2 - 2m|$
Xét $f(t) = 32t^2 - 24t + m^2 - 2m$, có $f(t)$ nghịch biến trên $[\dfrac14, \dfrac13]$
GTLN của $P = |f(t)|$ là $f(\dfrac14)$ hoặc $-f(\dfrac13)$

+) Nếu GTLN của $P$ là $f(\dfrac14)$ thì $f(\dfrac14) \geqslant -f(\dfrac13)$
$\iff m^2 - 2m - 4 \geqslant -m^2 + 2m + \dfrac{40}9$
$\iff m^2 - 2m \geqslant \dfrac{38}9$
$f(\dfrac14) = m^2 - 2m - 4 \geqslant \dfrac{2}9$
Vậy GTLN của $P$ nhỏ nhất khi $P = \dfrac{2}9 \iff m^2 - 2m - \dfrac{38}9 = 0 \iff \ldots$

+) Nếu GTLN của $P$ là $f(\dfrac13)$ thì... (tương tự, ra y chang thì phải)

Tích các giá trị của $m$ là $-\dfrac{38}9$

namarc1199@gmail.com said:

sao lại là -f(1/3) vậy bạn ?

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Ở đây đúng là phải ghi |f(1/4)| với |f(1/3)|, mà

• GTLN là |f(1/4)| chỉ xảy ra khi thằng f(1/4) dương (nếu nó âm thì thằng f(1/3) sẽ âm nhiều hơn do nghịch biến, |f(1/3)| rõ ràng lớn hơn) nên dùng f(1/4)
• GTLN là |f(1/3)| chỉ xảy ra khi f(1/3) âm (nếu nó dương thì tương tự trên...)

namarc1199@gmail.com said:

bạn nào có lời giải 3 câu này không cho mình xin với
View attachment 142620

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

49. Ý tưởng tương tự, $f(x)$ lẻ và đồng biến trên $[1, +\infty)$
bpt: $f(A) + f(B) \leqslant 0$
$\iff f(B) \leqslant -f(A) = f(-A)$
$\iff B \leqslant -A$
$\iff \sqrt{(m+1) \log_2 x} - (4 + \sqrt{m+1})\sqrt{\log_2^3 x} \leqslant -\sqrt{\log_2 x} \cdot \log_2^2 2x$

$x = 1$ luôn là nghiệm bpt, xét $x > 1$:
bpt $\iff \sqrt{m+1} - (4 + \sqrt{m+1}) \log_2 x \leqslant - \log_2^2 2x$
$\iff \sqrt{m+1} (1 - \log_2 x) \leqslant - (1 + \log_2 x)^2 + 4 \log_2 x = -(1 - \log_2 x)^2$

$x = 2$ luôn là nghiệm bpt, xét $x \ne 2$:
bpt $\iff \sqrt{m+1} \geqslant -(1 - \log_2 x) = \log_2 x - 1$ (do $\sqrt{m+1}$ không âm và $(1 - \log_2 x)^2$ âm nên $(1 - \log_2 x)$ âm)
$\iff x \leqslant 2^{\sqrt{m+1} + 1}$
Kết hợp điều kiện thì ta có 15 nghiệm nguyên cần có là: 1, 2, 3, ..., 15
Vậy $16 > 2^{\sqrt{m+1} + 1} \geqslant 15$
$\iff 8 > m \geqslant (\log_2 15 - 1)^2 - 1 \approx 7,45$

Giá trị nhỏ nhất của $m \approx 7,45$ nên chọn A

50. Bài này ngốn mình vài ngày suy nghĩ
Từ $B, C, D$ lần lượt kẻ $d_1, d_2, d_3$ song song $CD, BD, BC$
$d_1$ cắt $d_2$ tại $M$, $d_2$ cắt $d_3$ tại $N$, $d_3$ cắt $d_1$ tại $P$

Đặt:
$a = d(AB, CD) = d(D, (AMP)) = \dfrac12 d(N, (AMP))$ nên $2a = \ldots$
$b = d(AC, BD) = d(B, (AMN)) = \dfrac12 d(P, (AMN))$ nên $2b = \ldots$
$c = d(AD, BC) = d(C, (ANP)) = \dfrac12 d(M, (ANP))$ nên $2c = \ldots$
$V = V_{A.BCD} = \dfrac14 V_{A.MNP}$

Như vậy bằng cách dựng này, ta được một tứ diện mới với 3 đường cao đã biết.
(Để dễ nhìn thì bạn vẽ lại hình chóp với đỉnh là $M$ và đáy là tam giác $ANP$ nhé)
Do đường cao từ đỉnh $M$ là $2c$ nên thể tích chóp nhỏ nhất khi diện tích đáy nhỏ nhất
Mà $S_{AMP} = \dfrac12 AN \cdot AP \cdot \sin A$
$= \dfrac12 \dfrac{2S_{AMP}}{d(P, AN)} \cdot \dfrac{2S_{AMP}}{d(N, AP)} \cdot \sin A$
Suy ra $S_{AMP} = \dfrac12 \cdot d(P, AN) \cdot d(N, AP) \cdot \dfrac1{\sin A}$
$\geqslant \dfrac12 \cdot d(P, (AMN)) \cdot d(N, (AMP)) \cdot 1$
$= 2ab$
Dấu '=' xảy ra khi tứ diện $AMNP$ vuông tại $A$
Khi đó thể tích $V = \dfrac14 V_{A.MNP} = \dfrac1{12} \cdot 2c \cdot 2ab = \dfrac13 abc = 20$