Toán 6 Violympic

a) Ta xét 3 TH:
TH1: [tex]a=3k(k\in \mathbb{N})[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex][tex]a^{2}=9k^{2}=3(3k^{2})[/tex]
Vậy, [tex]a^{2}\equiv 0[/tex] (mod 3)
TH2: [tex]a=3k+1 (k\in \mathbb{N})[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex][tex]a^{2}=9k^{2}+6k+1=3(3k^{2}+2k)+1[/tex]
Vậy, [tex]a^{2}\equiv 1[/tex] (mod 3)
TH3: [tex] a=3k+2(k\in \mathbb{N})[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex][tex]a^{2}=9k^{2}+12k+4=3(3k^{2}+4k)+1[/tex]
Vậy, [tex]a^{2}\equiv 1[/tex] (mod 3)
Từ đó, [tex]a^{2}\equiv0; 1 (mod 3) [/tex]
Tương tự, [tex]b^{2}\equiv 0; 1 (mod 3)[/tex]
Xét các trường hợp có thể xảy ra đối vs [TEX]a^{2}[/TEX] và [TEX]b^{2}[/TEX]ta có:
[tex]a^{2}+b^{2}\vdots 3 \Leftrightarrow a; b \vdots 3[/tex] (đ.p.c.m.)

1. a) Xét các trường hợp chia 3 của x và x^2:
+ [tex]x\vdots 3\Rightarrow x^2\vdots 3[/tex]
+ [tex]x=3k+1\Rightarrow x^2=(3k+1)^2=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1[/tex] chia 3 dư 1
+ [tex]x=3k+2\Rightarrow x^2=(3k+2)^2=9k^2+12k+4=3(3k^2+4k+1)+1[/tex] chia 3 dư 1.
Vậy [tex]a^2,b^2[/tex] chia 3 dư 0 hoặc 1.
Mà [tex]a^2+b^2\vdots 3\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^2\vdots 3\\ b^2\vdots 3 \end{matrix}\right.\Rightarrow a,b\vdots 3[/tex]
b) Xét [tex]B-A=7^{n+1}+3(n+1)-1-(7^n-3n-1)=3+7^{n+1}-7^n=3+7^n.6[/tex]
Ta thấy: [tex]7^n.6[/tex] chia hết cho 6 nhưng không chia hết cho 9
[tex]\Rightarrow 7^n.6[/tex] chia 9 dư 6 [tex]\Rightarrow 7^n.6+3\vdots 9\Rightarrow B-A\vdots 9[/tex]
[TEX]\Rightarrow[/TEX] A chia hết cho 9 thì B chia hết cho 9 và ngược lại.(đpcm)