Toán 9 Chứng minh rằng với các số nguyên sau

1.[tex]\frac{1}{a}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Rightarrow \frac{1}{a}=\frac{b+c}{bc}\Rightarrow ab+ac=bc\Rightarrow abc=a^2(b+c)[/tex]
Ta thấy nếu a chẵn => đpcm.
Với a lẻ. Ta có bc=a(b+c)
Vì a lẻ, nên nếu bc lẻ thì b+c lẻ => Trong 2 số b, c tồn tại 1 số chẵn.
=> bc chẵn => b+c chẵn => Cả b và c chẵn => abc chia hết cho 4.
Vậy ta có đpcm.
2. Nếu x = 3,y = 4, z = 5 thì ta có sai đề
3. Gợi ý. Chứng minh xyz chia hết cho 3,4,5 bằng cách sử dụng tính chất:
+ Số chính phương chia 3 hay 4 đều dư 0 hoặc 1.
+ Số chính phương chia 5 dư 0,1,4.
* Xét số dư của mỗi số nhé.
4. Ta có: [tex]x^2-y^2=2(z^2-y^2)[/tex]
Nếu x^2 và y^2 chia 3 khác số dư thì [tex]x^2+y^2\equiv 1\equiv 2z^2(mod 3)\Rightarrow z^2\equiv 2(mod3)[/tex](vô lí)
Vậy [tex]x^2-y^2\vdots 3[/tex]
Nếu x^2 và y^2 chia 16 khác số dư thì [tex]x^2,y^2,z^2\equiv 0,1,4,9(mod16)\Rightarrow x^2+y^2\equiv 1,4,5,9,10,13\equiv 2z^2\equiv 0,2,8(mod16)[/tex](vô lí)
Vậy [tex]x^2-y^2\vdots 16[/tex]

Em mới học lớp 8 nên tạm thời chỉ giải được câu 3 thôi:
+ Chứng minh xyz chia hết cho 3 :
Ta giả sử cả x, y và z đều không chia hết cho 3
Khi đó thì x,y,z chia cho 3 dư 1 hoặc dư 2
=> x^2 , y^2 và z^2 chia 3 đều dư 1
Từ điều trên suy ra x^2 + y^2 chia 3 dư 2
hay z^2 chia 3 dư 2
Mâu thuẫn vì theo bên trên thì z^2 đồng dư với 1 theo mod 3
Do đó phải có ít nhất 1 số chia hết cho 3 => xyz chia hết cho 3 (*)
+ Chứng minh xyz chia hết cho 4:
Giả sử cả x,y và z đều không chia hết cho 4
Khi đó x,y,z chia cho 4 sẽ dư 1,2 hoặc 3
Xét TH1 : cả x,y,z là số lẻ => x^2, y^2 và z^2 chia 4 dư 1
Tương tự như trên ta có z^2 = x^2 + y^2 đồng dư với 1 + 1 = 2 theo mod 4 ( loại vì z^2 chia 4 dư 1)
TH2 : có 2 số chẵn => xyz chia hết cho 4
TH3 : Có 1 số chẵn và 2 số lẻ
+ Với x; y lẻ thì z² = x² + y² đồng dư với 2 theo mod 4 ( loại vì z chia hết cho 2 nên z^2 chia hết cho 4)
+ Với x; z lẻ thì y^2 = z^2 - x^2 đồng dư với (z+x)(z-x) (HĐT 3)
Đặt biến phụ z + x = 2k
=> z - x = z + x - 2x = 2k - 2x = 2(k - x)
Với k chẵn thì z + x chia hết cho 4 còn z - x chia hết cho 2
Với k lẻ thì z + x chia hết cho 2 còn z - x = 2(k - x) chia hết cho 4
=> ( z + x)( z - x) chia hết cho 8
Trong khi đó y^2 chia hết cho 4 mà không chia hết cho 8. Mâu thuẫn!
Vậy có ít nhất 1 số chia hết cho 4 => xyz chia hết cho 4 (**)
+ Chứng minh xyz chia hết cho 5:
Giả sử cả x; y và z không chia hết cho 5.
Khi đó x; y và z chia cho 5 dư 1; 2; 3 hoặc 4 => x²; y² và z² chia cho 5 dư 1 hoặc -1.
Xét TH1 : x^2 và y^2 đồng dư với 1 theo mod 5 => z^2 = x^2 +y^2 đồng dư với 1 +1 = 2 theo mod 5 ( loại - z^2 đồng dư với 1 theo mod 5)
Tương tự với TH2 và TH3 ta có z^2 đồng dư với -1 và 0 theo mod 5 ( loại hết)
Vậy ít nhất phải có 1 thừa số chia hết cho 5 => xyz chia hết cho 5 (***)
mà [3,4,5] = 60 (****)
Từ (*),(**),(***) và (****) suy ra xyz chia hết cho 60
Dài waidai =))

Ngụy Ngân Nhi (Chíp) said:

Dạ câu 2 cho em sửa lại là chứng minh xyz chia hết cho 12.

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Vậy nó thành ra dễ quá rồi, vì [TEX]xyz\vdots 60[/TEX] thì hiển nhiên [TEX]xyz\vdots 12[/TEX] rồi! Mà mọi người ở trên đã chứng minh hết rồi!